Prismi, piramidi e altro

Questo è un problema che potreste esplorare anche a occhi chiusi, cercando di esercitare la vostra fantasia, e discutendo fra di voi in modo da usare l’immaginazione di tutti. Pensiamo però che a un certo punto vi sarà utile aprire gli occhi e provare a costruire qualche oggetto.

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Costruire un pallone da calcio

Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/lNfwicOaAHs

Domande e risposte

A partire dal reticolo esagonale allegato a fondo pagina (citato nel video come “il disegno di Simone”) è possibile costruire un solido che ricorda un pallone da calcio.

Quante facce esagonali ha questo solido? E quante pentagonali?

Il solido che si ottiene nel video e che assomiglia a un pallone da calcio ha 20 facce esagonali e 12 “buchi” pentagonali, in corrispondenza di ciascuno dei quali possiamo immaginare una faccia.

Quanti esagoni ci sono nel reticolo del disegno di Simone?

Nel reticolo che appare sul disegno mostrato nel video si possono contare 39 esagoni, 8 dei quali vengono poi “eliminati” dai tagli lungo le linee continue.

Istruzioni

La richiesta di scrivere delle istruzioni precise, che consentano a chi non ha visto il video di ricostruire il solido, può essere soddisfatta in molti modi.

Dalle istruzioni deve emergere il fatto che alcuni esagoni vanno incollati su altri esagoni, lasciando dei “buchi” a forma di pentagono. Come suggerito nel video, indicare sullo stesso disegno quali esagoni vadano incollati su quali altri potrebbe facilitare di molto le cose.

In questo reticolo sono evidenziati con due colori diversi gli esagoni che vanno incollati su altri esagoni.
FIGURA 1 – In questo reticolo gli esagoni che rimangono dopo aver tagliato lungo le linee continue sono colorati in due modi diversi. Ogni esagono chiaro dovrà essere incollato a un esagono scuro. In particolare ogni esagono chiaro adiacente a uno scuro tramite una linea continua dovrà essere incollato proprio a quell’esagono scuro. Se si vuole che alla fine il solido abbia tutte le facce esagonali dello stesso colore (scure), si dovranno fare le pieghe “a monte” e si dovranno incollare gli esagoni chiari SOTTO gli esagoni scuri.
In questo reticolo gli esagoni da incollare uno sull'altro sono indicati con lo stesso numero.
FIGURA 2 – In questo reticolo ciascuno degli esagoni che rimangono dopo aver tagliato lungo le linee continue è etichettato con un numero o con un numero “bis”. L’esagono con l’etichetta n-bis deve essere incollato all’esagono con l’etichetta n. Si può osservare che quasi tutte le coppie di esagoni n e n-bis sono adiacenti lungo una linea continua; fanno eccezione le tre coppie 1 e 1bis, 19 e 19bis, 20 e 20bis.

Commenti

Un problema significativo

Immaginare a occhi chiusi, costruire a occhi aperti

Spesso, nella scuola, si parla della necessità di sviluppare le capacità di visualizzazione spaziale degli alunni. Particolarmente rilevante è, a questo proposito, la capacità di pensare il solido che si può costruire a partire da un certo sviluppo piano. Questa abilità può essere allenata attraverso varie esperienze concrete, purché sempre accompagnate da opportune riflessioni: costruire solidi a partire dal loro sviluppo piano; disegnare lo sviluppo piano di un solido dato; individuare sviluppi piani diversi dello stesso solido; indicare – su un dato sviluppo – quali lati dei poligoni che lo compongono andranno a combaciare con quali altri lati per costruire un certo solido…

In questo problema, le abilità di visualizzazione spaziale degli alunni entrano ancor più in gioco, insieme alla immaginazione, in quanto il reticolo esagonale disegnato sul foglio di carta NON coincide con lo sviluppo piano del solido: ci sono tanti esagoni di troppo e… mancano i pentagoni!

Dove si nascondono alcuni esagoni? Da dove vengono i pentagoni? Nello scrivere le istruzioni richieste, gli alunni dovranno, in un certo senso, rispondere a queste domande.
La situazione che si presenta più frequentemente è questa: 6 esagoni disposti ad anello attorno a un settimo esagono completamente delimitato da linee continue (e che quindi diventerà un buco nel reticolo); i 6 esagoni diventano 5 perché uno di essi viene incollato su un altro e l’esagono centrale diventa un buco pentagonale.

Ma ci sono anche coppie di esagoni che sul reticolo sono “lontani” e che devono essere incollati uno sull’altro: lo si capisce anche prima di aver costruito il solido, perché altrimenti non si potrebbe ottenere qualcosa che assomiglia a un pallone. Non è però facile capire di quali esagoni si tratti, se ci si limita a osservare il reticolo o a guardare il video! Dopo aver costruito il solido, però, attraverso un gioco di passaggi continui dalla manipolazione alla riflessione (e viceversa), dal pensare al toccare (e viceversa), dal costruire a occhi aperti all’immaginare a occhi chiusi (e viceversa) i ragazzi potranno concludere che gli esagoni “lontani” da incollare uno sull’altro saranno quelli indicati in FIGURA 2 con le etichette 1 e 1bis, 19 e 19bis, 20 e 20bis.

cogliere le analogie

Una buona dose di immaginazione serve anche per vedere l’analogia tra il pallone da calcio e l’oggetto, pieno di buchi, che si costruisce col cartoncino, nonché tra questo oggetto e il poliedro archimedeo con 20 facce esagonali e 12 facce pentagonali che è rappresentato nella figura qui sotto.

Comparison of truncated icosahedron and soccer ball

Un problema memorabile

Tanti fattori possono rendere questo problema memorabile: lo stupore che si prova nel vedere che da un reticolo fatto di soli esagoni nasce un solido in cui si individuano anche dei pentagoni, il fatto che si parli di un oggetto tanto comune quanto amato come il pallone da calcio, il fatto che i ragazzi si scoprano capaci di costruire da soli qualcosa di veramente bello…

Ciascun insegnante, nel contesto della propria classe, saprà agganciare a questo problema discussioni, riflessioni e scoperte in modo tale che tornino facilmente alla mente degli alunni, ogni volta che rivedranno o ripenseranno a un pallone da calcio!

Un problema aperto

In questo video-problema si chiede agli alunni di contare quanti sono gli esagoni e quanti sono i buchi pentagonali nell’oggetto che si costruisce a partire dal reticolo esagonale, che è come contare gli esagoni e i pentagoni che, una volta cuciti insieme, formano un pallone da calcio; ed è anche come contare le facce del poliedro che il pallone da calcio richiama.

È probabile che, mentre cercano di risolvere questo problema, gli alunni stessi si pongano ulteriori domande ed è utile che l’insegnante le raccolga, soprattutto se intende approfondire alcune questioni.

come si chiama il poliedro corrispondente al pallone da calcio?

È sorprendente la necessità (a volte quasi impellente) che i ragazzini hanno di dare un nome agli oggetti che imparano a riconoscere. E i nomi di questo poliedro possono far nascere altre domande.

Un nome attribuito a questo poliedro è icosaedro tronco (o troncato): perché?
Una risposta “visuale” (che, a seconda dell’età degli studenti, si potrà tradurre in modo sempre più appropriato nel linguaggio della geometria) si trova nel video qui sotto, tratto dal canale YouTube Mnogogranniki Ru (un canale educativo russo, tutto dedicato ai poliedri). Nel video si mostra come questo poliedro si ottiene a partire da un icosaedro “tagliando via”, intorno a ciascuno dei 12 vertici, una piramide (che sarà a base pentagonale, perché in ogni vertice arrivano 5 facce).

Qualcuno indica questo poliedro come poliedro uniforme (5, 6, 6): perché?
Si tratta di un poliedro uniforme perché intorno a ogni suo vertice arrivano gli stessi poligoni e, inoltre, comunque si fissino due vertici, è possibile rigirare il poliedro in modo da spostare il primo nella posizione del secondo. Queste caratteristiche fanno sì che il poliedro si possa identificare con una serie di numeri che indicano (in ordine) il numero di lati delle facce che arrivano in uno stesso vertice. Il nostro poliedro dunque è un poliedro uniforme di tipo (5,6,6): in ogni vertice arrivano un pentagono regolare e due esagoni regolari.

Un poliedro uniforme (5,6,6)

Quanti sono gli spigoli del poliedro corrispondente al pallone da calcio?

Questa domanda equivale a chiedersi quante sono le cuciture che bisogna fare per costruire il pallone da calcio a partire da pezze esagonali e pentagonali.
Per rispondere, gli alunni possono iniziare a contare spigolo per spigolo, magari aiutandosi con un pennarello per non rischiare di contare lo stesso spigolo due volte. Non è raro, però, che (pensando al pallone da calcio e alle pezze da cucire insieme) in qualche gruppo i ragazzi si accorgano che ogni cucitura unisce due lati, di due pezze diverse. I lati delle pezze esagonali sono 20×6=120; i lati delle pezze pentagonali sono 12×5=60; i lati sono quindi in tutto 180 e le cuciture da fare saranno 180:2=90.

Quanti sono i vertici del poliedro corrispondente al pallone da calcio? C’è qualche legame tra il numero delle facce, degli spigoli e dei vertici?

Contate le facce e contati gli spigoli, si possono contare (uno alla volta, o con qualche strategia che faccia riferimento alla simmetria del poliedro) anche i vertici.
A partire da questo e da altri problemi che abbiano a che fare con il numero di facce, vertici e spigoli di un poliedro, si potranno avvicinare gli alunni alla relazione di Eulero, dando così loro l’occasione di toccare un nodo della matematica profondo e importante, di cui parleremo nella sezione Quasi un libro.

Un problema difficile

La difficoltà di questo problema, inizialmente, potrebbe sembrare di tipo manuale. In realtà i ragazzi si accorgeranno presto che la costruzione di questo solido non è più complicata di quella di tanti altri che si possono fare con cartoncino, forbici e colla: la costruzione di molti solidi, anche se apparentemente più semplici, richiede infatti maggior precisione nei tagli (perché gli angoli delle facce o tra una faccia e l’altra sono più stretti) o nella fase di incollaggio (perché le superfici da incollare sono più sottili o difficili da stringere tra le dita).

La vera difficoltà sta nello scrivere delle istruzioni che servano a qualcuno che non ha potuto vedere il video: occorre osservare bene quanto viene proposto dall’insegnante, provare a ripeterlo (probabilmente più volte) focalizzando l’attenzione sui diversi passaggi che si compiono e trovare un modo per descriverli che sia davvero utile allo scopo. Entrano qui in gioco abilità e competenze linguistiche, perché i ragazzi dovranno fare un uso appropriato ed efficace del linguaggio; ma entrano in gioco anche abilità e competenze che hanno molto a che fare con la matematica e con il pensiero computazionale, per quanto non si vedano numeri, né calcoli, né calcolatori automatici!

Un problema di matematica con effetto sorpresa

Le sorprese suscitate da questo problema possono essere tante, a seconda della classe a cui lo proponiamo.

Chi non ha mai osservato da vicino un classico pallone da calcio e non ha mai notato le cuciture che caratterizzano la sua superficie risulta sorpreso nello scoprire che non si tratta di una sfera perfetta e uniforme, bensì del risultato di tanti singoli poligoni che si inarcano verso l’esterno per effetto della pressione dell’aria interna al pallone stesso.
Molti di quelli che, invece, queste cuciture le hanno già notate si stupiscono del fatto che i singoli pezzi non sono tutti esagoni, anche se con poco sforzo (pensando alla tassellazione del piano in esagoni che si può immaginare guardando i favi di un’arnia o i pavimenti di molte cucine…) si accorgono che, con esagoni soltanto, non si può fare una palla: tre esagoni regolari posti attorno a un unico vertice si uniscono uno all’altro formando una superficie piana.
Quasi tutti si stupiscono, a buon conto, che dal reticolo di soli esagoni si possa costruire il pallone da calcio: non è facile, all’inizio, immaginare che basti lasciare dei buchi pentagonali per ottenere l’effetto desiderato!

Scenari possibili

Questo problema si presta ad essere proposto a livelli molto diversi (meglio se adeguando il tono del racconto e delle richieste all’età dei nostri interlocutori).

Per alunni della scuola primaria, potrebbe essere il coronamento di una serie di attività sui poliedri o sulla geometria solida, mentre per alunni della scuola secondaria potrebbe essere usato come avvio allo studio dei poliedri (per il primo grado) e della relazione di Eulero (per il secondo grado).

Materiale necessario

A fondo pagina è possibile scaricare il file con il reticolo di cui si parla nel video-problema.

È opportuno dare a ogni alunno questo reticolo stampato su cartoncino (quello da 120 g/m2 è dello spessore adatto), in modo da poter costruire il proprio pallone da calcio. È altrettanto opportuno che ogni alunno, o ogni gruppo, riceva qualche copia in più, stampata anche solo su carta, per poterci lavorare al fine di scrivere le istruzioni richieste.

Allegati

I viaggi di Gulliver

Il brano che segue è tratto da I viaggi di Gulliver di Jonathan Swift:

“Feci allora un gesto per indicare che volevo bere. Dal mio modo di mangiare avevano capito che una piccola quantità non mi sarebbe bastata; ed essendo un popolo ingegnosissimo, con molta abilità issarono una delle loro botti più grandi, la fecero rotolare verso la mia mano e la scoperchiarono in alto; io bevvi tutto in un solo sorso, cosa che potevo ben fare poiché conteneva appena una mezza pinta e aveva il gusto di un leggero vino di Borgogna, ma assai più squisito.”
Leggi tutto “I viaggi di Gulliver”

Allegati

Una cornice fatta di rombi


Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/1QxLB1qK9Po

Domande e risposte

La domanda posta agli alunni all’inizio del video (come ricavare un rombo da un foglio di carta di forma qualsiasi, avendo a disposizione solo un paio di forbici?) è solo un pretesto per catturare l’attenzione, perché la risposta viene data subito dopo, nel video stesso. Fatta una prima piega (che corrisponderà a una diagonale del rombo) se ne fa un’altra, che le sia perpendicolare (e che corrisponderà all’altra diagonale): a tal fine, la seconda piega dovrà dividere la prima in due parti che si vadano a sovrapporre (anche solo parzialmente).
Per ottenere un rombo, basterà poi – tenendo il foglio piegato in quattro – fare un taglio che congiunga un punto sulla seconda piega con un punto sulla prima piega. Procedendo in questo modo, siamo anche sicuri che le diagonali del quadrilatero che otteniamo si tagliano a metà (per ragioni di pieghe e simmetria).

Come piegare un quadrato da un foglio di forma qualsiasi

La prima vera richiesta che si rivolge agli alunni è quella di fornire le istruzioni per ricavare un quadrato da un foglio di carta, avendo a disposizione solo un paio di forbici; si chiede anche che le istruzioni valgano qualsiasi sia la forma del foglio da cui si parte. Le possibilità sono molteplici e la difficoltà di descrivere passo passo le pieghe che si fanno è innegabile (lo è per noi, immaginiamo quanto possa esserlo per i nostri alunni)! Una sequenza di fotografie può rendere più semplice la spiegazione, ma i ragazzi si scontreranno comunque con la difficoltà di doversi riferire alle pieghe fatte in precedenza, o con il fatto che nelle immagini può risultare difficile capire dove finisce il foglio e dove invece c’è una piega, dove il foglio è semplice e dove invece ci sono sovrapposizioni…

Avendo visto la modalità proposta nel video per costruire un rombo, è probabile che gli alunni partano nello stesso modo, facendo due pieghe perpendicolari. Il taglio finale, però, dovrà essere fatto in modo che i due punti, estremi del taglio (uno sulla prima piega e l’altro sulla seconda), siano equidistanti dal punto d’incontro delle pieghe.

piegare un quadrato: un primo modo
piegare un quadrato: un secondo modo

Chiaramente, quelle illustrate con le precedenti sequenze di immagini sono solo due delle tante possibili soluzioni al problema di costruire un quadrato usando solo le pieghe.

Come ottenere una cornice di rombi simili tra loro

Nel video vengono poi mostrate due “cornici” costruite incollando uno sull’altro dei fogli colorati dai quali sono stati ritagliati dei rombi con il metodo illustrato all’inizio del video. Si chiede agli alunni di descrivere, usando le parole della geometria a loro note, questo fatto: in una delle due cornici, ogni rombo può essere ottenuto ingrandendo o rimpicciolendo un altro dei rombi che la formano; nell’altra cornice ciò non avviene. Anche in questo caso le risposte possono essere molteplici, ma dovranno rifarsi tutte al fatto che i rombi della prima cornice sono simili tra loro, mentre quelli della seconda non lo sono.

L’ultima domanda chiede, nuovamente, che i ragazzi forniscano delle istruzioni: come si può costruire una cornice in cui ogni rombo possa essere ottenuto ingrandendo o rimpicciolendo un altro dei rombi che la formano? Anche in questo caso possono essere corrette sequenze di istruzioni molto diverse, che però conducono tutte alla costruzione di rombi simili tra loro. In particolare i ragazzi potranno focalizzare la propria attenzione sul costruire rombi con gli angoli uguali oppure sul costruire rombi in cui i rapporti tra le diagonali siano costanti.

Un modo per ottenere rombi con gli angoli uguali anche senza usare un goniometro è quello di effettuare dei tagli “paralleli”.

Commenti

Il problema descritto in questo video, per quanto apparentemente sia costruito “solo” attorno alle proprietà del rombo, vuole essere soprattutto una occasione per riflettere sulla forma e sulla similitudine.

Un problema significativo

rombi e quadrati

La prima richiesta del problema (fornire le istruzioni per costruire un quadrato di carta usando solo le pieghe e le forbici) vorrebbe essere un modo per far riflettere gli alunni sul fatto che i quadrati sono particolari rombi, come risulta evidente dalle stesse definizioni di quadrato e di rombo:

  • un rombo è un quadrilatero con i lati uguali tra loro;
  • un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali tra loro e tutti gli angoli retti.

Quindi i quadrati sono rombi particolari: hanno quattro lati uguali tra loro (per questo sono rombi) e godono di un’altra caratteristica che invece non è di tutti i rombi (e infatti esistono dei rombi che non sono quadrati).

Nonostante queste siano le definizioni comunemente condivise (e in genere ben note agli alunni, che le sanno ripetere a memoria), spesso ciò che emerge discutendo con loro rivela convinzioni diverse, che spesso e volentieri nascono dal fatto che i ragazzini non si rifanno tanto alle definizioni (giustamente!), quanto agli esempi che hanno incontrato; e questi esempi, purtroppo, spesso sono pochi e stereotipati.

Una convinzione diffusa è questa: “Un quadrato è un quadrato, un rombo è un rombo: usiamo parole diverse perché sono figure diverse, che non hanno nulla in comune”. In altre parole: per molti alunni, il quadrilatero verde nella figura qui sotto è un rombo, ma non un quadrato (il che è vero) e allo stesso modo quello rosso è un quadrato (vero), ma non un rombo (e questo invece è falso).

Un quadrato e un rombo disegnati su carta a quadretti; spesso i ragazzi sono convinti che le parole "rombo" e "quadrato" indichino due forme diverse.

Un altro stereotipo diffuso è quello per cui un quadrilatero è un quadrato se ha tutti i lati e gli angoli uguali e inoltre se i lati sono paralleli alle righe della quadrettatura (o ai bordi del foglio) ed è invece un rombo se ha le diagonali che si tagliano a metà e sono parallele alle righe della quadrettatura. Ad esempio: per molti alunni, il quadrilatero rosso della figura qui sotto è un quadrato ( e questo è vero) ma non è un rombo (e questo è falso); mentre quello verde è un rombo (e questo vero) ma non è un quadrato (e questo è falso).

Due quadrati disegnati su carta a quadretti, il primo con i lati paralleli alle linee della quadrettatura, l'altro no: il primo quadrato è riconosciuto come tale da tutti gli alunni della suola media; il secondo - invece - spesso è riconosciuto come rombo, ma non come quadrato.

Potrebbe sembrare che, per smontare queste convinzioni, basti far rileggere agli alunni le definizioni di rombo e di quadrato, ma non è così: le misconcezioni formatesi a seguito di pochi e stereotipati esempi sono più forti di qualsiasi definizione letta, riletta o anche imparata a memoria!
La nostra esperienza e la psicologia cognitiva ci insegnano che il modo più efficace per risolvere il problema non è semplicemente richiamare all’attenzione dei ragazzi le definizioni, quanto far emergere queste misconcezioni e creare un bagaglio di esperienze, di esempi e di problemi che diano “concretamente ragione” ai nostri ragionamenti astratti. In questo caso particolare, per esempio, “avere tra le mani” un rombo e un quadrato ritagliati nella carta, poterli rigirare fra le mani e far loro assumere posizioni diverse (rispetto al foglio su cui li si appoggia, rispetto al bordo del tavolo, … ) può aiutare i ragazzi ad abbandonare gli stereotipi che nascono nel vedere sempre e soltanto quadrati e rombi disegnati (e disegnati sempre in un certo modo). Certo, rombi e quadrati ritagliati nella carta non sono veri rombi e veri quadrati (enti astratti e privi di spessore): ma non lo sono nemmeno quadrati e rombi disegnati sulla carta.
Il fatto poi che per ritagliare un quadrato si possano seguire le stesse istruzioni che vanno bene per ritagliare un rombo, aggiungendo semplicemente un vincolo, una limitazione a come deve essere fatto l’ultimo taglio, può aiutare i ragazzi a convincersi del fatto che il quadrato è anche un rombo.

Un altro “antidoto” agli esempi stereotipati è quello di allenare i ragazzi a guardarsi in giro e a scoprire rombi e quadrati in casa o per strada. Allora, gioco forza, gli esempi che avranno non saranno solo con i lati o le diagonali paralleli ai bordi del foglio!

E anche usando la carta a quadretti si possono pensare e costruire attività che aiutino i ragazzi a sganciarsi dagli stereotipi: un esempio è dato, su questo sito, dal problema Rombi sul quaderno a quadretti.

similitudine e forma

Il nodo principale attorno al quale si sviluppa il problema è quello della similitudine.

Questa immagine rappresenta le due cornici presentate nel video-problema: una costruita con rombi simili tra loro, l'altra fatta di rombi che non sono simili tra loro.

La seconda domanda, in particolare, chiede agli alunni di descrivere, attraverso le “parole della geometria” che essi conoscono, il fatto che, mentre i rombi della cornice fatta dalla maestra (quella che si vede fotografata qui sopra a sinistra) sembrano essere ricavati ingrandendo o rimpicciolendo uno degli altri rombi della cornice, ciò non avviene per quella fatta dalla professoressa, fotografata qui sopra a destra.

Nelle classi in cui si è già parlato di similitudine, gli alunni potranno semplicemente rispondere che i rombi della cornice della maestra sono tutti simili tra loro, mentre quelli dell’altra cornice non lo sono. Nelle stesse classi, ma anche in quelle nelle quali alla similitudine si è già accennato, si potranno raccogliere anche risposte diverse, ugualmente corrette. Quelle che riportiamo qui sotto sono tutte risposte “originali” di gruppi di ragazzi in classi che hanno svolto questa attività:

  • i rombi della cornice della maestra sono tutti uguali tra loro, mentre quelli dell’altra cornice sono tutti diversi;
  • i rombi della cornice della maestra hanno tutti la stessa forma, mentre quelli dell’altra cornice hanno forme diverse;
  • i rombi della cornice della maestra hanno le misure in scala, gli altri no;
  • ogni rombo di quelli della cornice della maestra ha gli angoli della stessa ampiezza di quelli degli altri rombi; nell’altra cornice questo non accade;
  • i rombi della cornice della maestra sono proporzionati, gli altri no.

Ogni insegnante troverà il modo, a seconda della classe che avrà di fronte, di riprendere in maniera opportuna ciascuna delle osservazioni dei suoi ragazzi, usandole per ritornare sul (o introdurre il) concetto di similitudine. Osserviamo qui soltanto che la prima risposta, che potremmo etichettare come “sbagliata”, in realtà contiene il germe di un’idea molto interessante. Se andiamo a scavare con i ragazzi che l’hanno data che cosa intendevano con la parola “uguale”, è assai probabile che riconoscano che questo “uguale” non significa “stesse dimensioni” (lo si vede chiaramente che non hanno le stesse dimensioni!), bensì “stessa forma”, che è il tipo di “uguaglianza” che interessa in questo momento per questo problema. E qui si potrebbe aprire una parentesi assai significativa sul concetto di uguaglianza in geometria…

Ci preme qui soffermarci sull’idea di forma che emerge dalle risposte precedenti (e che è un’idea assolutamente corretta): due figure simili hanno la stessa forma; due figure che non sono simili non hanno la stessa forma, anche se siamo abituati a chiamarle con lo stesso nome.
Ritorneremo su questo tema con alcune riflessioni più approfondite nella sezione Quasi un libro, in particolare nelle pagine sull’uguaglianza.
Per il momento ci pare importante sottolineare, però, il fatto che i nomi che abitualmente diamo alle figure non sempre corrispondono a una forma in senso stretto. “Quadrato” è una parola che denota una forma in senso stretto, perché tutti i quadrati sono simili tra loro; lo stesso si può dire della parola “cerchio”, o dell’espressione “triangolo equilatero”.

"Cerchio", "quadrato" e "triangolo equilatero" sono parole che denotano davvero delle forme, perché tutti i cerchi sono simili tra loro, tutti i quadrati sono simili tra loro e tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.

“Rombo”, invece, non è una parola che denota una forma in senso stretto, perché non tutti i rombi sono simili tra loro, ossia esistono rombi di forme diverse: mutuando gli aggettivi usati dagli alunni per descrivere i rombi della cornice fatta dalla professoressa, potremmo dire che alcuni sono più “snelli e allungati” (come quelli della seconda figura tra quelle qui sotto), altri sono più “cicciottelli e bassotti” (come quelli della figura più in basso) e c’è un’infinita gamma di forme diverse per un rombo!

I rombi di questa prima figura sono anche dei quadrati: hanno tutti la stessa forma.
I rombi di questa seconda figura sono simili tra loro: hanno tutti la stessa forma. Ma hanno una forma diversa da quella dei rombi delle figure precedente e seguente.
I rombi di questa terza figura sono simili tra loro: hanno tutti la stessa forma. Ma hanno una forma diversa da quella dei rombi delle figure precedenti.
similitudine e rapporti costanti

Uno degli errori più frequenti che abbiamo letto nelle risposte date alla terza domanda di questo problema (quella in cui si chiede di dare le istruzioni per costruire dei rombi simili tra loro) riflette un errore che ci pare di poter definire “classico”: la confusione tra grandezze che variano mantenendo costanti le differenze tra l’una e l’altra e grandezze che variano mantenendo costanti i rapporti.

L’immagine qui sotto, in particolare, è stata costruita ricalcando le istruzioni date da una alunna: “Fatte le due pieghe perpendicolari sul primo foglio, su una piega misuro un segmento lungo 3 cm e sull’altra uno lungo 5 cm a partire dal vertice comune alle due pieghe. Congiungo gli altri estremi di questi segmenti tra loro e poi taglio. Sul secondo foglio faccio la stessa cosa, ma aggiungendo 1 cm su entrambe le pieghe e quindi prendendo un segmento lungo 4 cm e l’altro lungo 6 cm. Sul terzo foglio faccio la stessa cosa, aggiungendo ancora 1 cm e quindi prendendo un segmento lungo 5 cm e l’altro lungo 7 cm.”

Proposta di misure delle diagonali di rombi simili.
Sia nella cornice costruita dalla alunna in questione, sia in questa immagine che la riproduce, non è così facile vedere “a occhio” che i rombi non sono simili tra loro. Basta però prolungare i lati che dovrebbero essere paralleli per vedere che non lo sono, oppure ripetere il procedimento indicato (aggiungere 1 cm alle semi-diagonali o toglierlo, che è la stessa cosa) per rendere più evidente che i rombi non hanno tutti la stessa forma.

Metacognizione

scovare le ipotesi

La prima vera domanda posta all’interno di questo video-problema richiede che vengano date le istruzioni per costruire un quadrato, avendo a disposizione solo un foglio di carta e un paio di forbici. Si chiede esplicitamente, inoltre, che le istruzioni date valgano per un foglio di carta di forma qualsiasi e, nel video, si mostra un foglio non rettangolare, che sembra strappato malamente.

Alcuni degli alunni delle classi in cui abbiamo proposto questo problema hanno sorvolato sulla precisazione a proposito della forma del foglio (o l’hanno fraintesa) e hanno fornito delle istruzioni ineccepibili se si parte da un foglio di carta rettangolare, ma prive di significato se si parte da un foglio di un’altra forma. Ad esempio, l’istruzione “piega un foglio a metà e poi ancora a metà ma nell’altro senso”, può essere chiara e produrre due pieghe perpendicolari tra loro se si parte da un foglio rettangolare, ma potrebbe non avere senso se si partisse da un foglio di forma diversa.

Perché insistere su questo particolare? Non certo perché sia più facile procurarsi fogli triangolari, circolari o di qualsiasi altra forma piuttosto che rettangolari (anche se in alcuni casi potrebbe essere una necessità)! Ciò che vorremmo far notare ai ragazzi è che le istruzioni che si danno per ottenere un certo risultato dipendono dal punto di partenza: cambiando il punto di partenza possiamo essere costretti a modificare le nostre istruzioni, un po’ come quando cambiando le ipotesi in un teorema siamo costretti a cambiare la dimostrazione per arrivare alla stessa tesi.

Un percorso a ritroso

È molto frequente, nella pratica didattica, che si chieda agli alunni di seguire la procedura descritta in un testo per ottenere un certo risultato: basta aprire un libro scolastico di matematica per trovare tantissimi esempi di questo genere.
Anche se, oggi come oggi, le istruzioni che possiamo trovarci a dover seguire sono spesso accompagnate da illustrazioni, o addirittura contenute in un video-tutorial (il che rende tutto più semplice), non crediamo ci sia nulla di male nell’allenare la capacità di comprendere un testo e di seguire le istruzioni in esso contenute: ci sono tante situazioni in cui questa abilità può tornare veramente utile.

Dal nostro punto di vista, però, può essere ancora più educativo chiedere ai ragazzi di scrivere (o registrare) loro stessi le istruzioni affinché, per esempio, dei loro compagni possano arrivare a un certo risultato.
Innanzitutto abbiamo sperimentato che questo tipo di richiesta (“a ritroso” rispetto a quelle a cui sono più spesso abituati) è più coinvolgente: gli alunni la vedono meno come un dovere cui ottemperare per soddisfare l’insegnante e più come un compito da assumersi per poter dire con soddisfazione “questo l’ho fatto io!”.
Le risposte a domande di questo tipo, inoltre, rivelano all’insegnante molto di più sulla effettiva comprensione da parte degli alunni di ciò di cui si sta parlando. Fintanto che i ragazzi dovranno seguire la procedura per costruire un rombo con le pieghe e le forbici, per esempio, potranno mettere in gioco la propria attenzione, la capacità di comprendere le singole istruzioni, la capacità di tradurre le istruzioni ricevute in azioni da compiere con le proprie mani.  Ma un alunno potrebbe ottenere un bellissimo rombo anche senza aver colto quali sono le caratteristiche essenziali del rombo stesso e in che modo il nostro agire sulla carta produce una figura con quelle caratteristiche. Ci sembra molto improbabile, invece, che un alunno riesca a fornire delle buone istruzioni per costruire un quadrato di carta con le pieghe e le forbici senza aver capito a fondo quali sono le caratteristiche essenziali del quadrato e come ottenere ciascuna di queste caratteristiche attraverso le pieghe della carta.

Scenari possibili

Scrivere (o illustrare ) le istruzioni per costruire un quadrato usando solo le pieghe o per riprodurre una cornice di rombi simili è una attività sfidante per i ragazzini della scuola secondaria di primo grado, ma che potrebbe essere proposta anche a quelli degli ultimi anni della scuola primaria.
Le riflessioni sulla similitudine a cui questo problema conduce possono essere utili sia per introdurre questo tema, sia per ritornarci “da un altro punto di vista” qualora lo si fosse già incontrato in precedenza.

Materiale necessario

Sono necessari un po’ di fogli di carta (meglio se di recupero e meglio se non troppo spessa) e un paio di forbici.
Per aiutare gli alunni a svincolare le proprie istruzioni dalla forma del foglio di partenza, potrebbe essere utile fornire loro dei fogli non rettangolari (un foglio di carta di giornale strappato grossolanamente in pezzi andrebbe benissimo).

Le istruzioni da dare in risposta alla prima e alla terza domanda del problema possono essere più efficaci se corredate da una sequenza di immagini o da un video: potrebbe quindi essere utile fornire agli alunni un dispositivo per fare fotografie o riprese, o lasciare che usino i propri dispositivi.

Problemi collegati

Un altro video-problema che ha a che vedere con i rombi e con le piegature della carta è “Il rombo di carta“. Se qui il rombo è il punto di partenza per parlare di similitudini, là diventa l’occasione per parlare di simmetria.

Il rombo di carta


Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/pOAilmWhhEQ

Domande e risposte

Questo video-problema incomincia con il far osservare ai ragazzi che cosa succede quando si piega un foglio di carta rettangolare con i lati di lunghezze diverse (cioè che non sia un quadrato) lungo una delle sue diagonali e prosegue dando le istruzioni per costruire un rombo.
La professoressa piega a metà il foglio rettangolare (lungo l’asse di due lati), poi piega ulteriormente a metà (con una piega perpendicolare alla prima): ottiene così un rettangolo le cui dimensioni sono la metà di quelle del foglio di partenza.
Piega poi questo rettangolo lungo una delle due diagonali, fingendo di aspettarsi di ottenere un rombo: quando apre il foglio, però, si accorge che le pieghe tracciate disegnano, alla riapertura del foglio, le diagonali e gli assi del rettangolo di partenza, ma… niente rombo!
Ripete (apparentemente) la stessa procedura, ottenendo finalmente un rombo. La domanda che pone, di conseguenza, è questa: “Che cosa è successo? Perché prima non è venuto un rombo? Dove ho sbagliato?”

Il punto è che, riferendosi al rettangolo piccolo ottenuto con le prime due pieghe, non è indifferente piegare lungo l’una o lungo l’altra delle due diagonali. Infatti, se si tiene presente il foglio da cui siamo partiti, la situazione non è più simmetrica:

  • una delle due diagonali passa per quel vertice (del rettangolo piccolo) che corrisponde al centro del foglio di partenza; la piega fatta lungo questa diagonale produce le diagonali del foglio rettangolare;
  • l’altra diagonale non passa per quel vertice; la piega fatta lungo questa diagonale produce il rombo che ha vertici nei punti medi dei lati del foglio.

Tutte le domande poste successivamente, in realtà, trovano risposta nel video stesso e sono, più che dei problemi da risolvere, degli stimoli a ripensare a quanto visto e sentito, soprattutto se l’insegnante chiederà agli alunni di motivare le proprie risposte. Questi ripensamenti sono volti in particolare a far riconoscere ai ragazzi che la prima impressione visiva che hanno sul quadrilatero ottenuto dalle pieghe, cioè che si tratti di un rombo, è effettivamente corretta: sono proprio le pieghe a garantirci che questo quadrilatero gode delle proprietà che caratterizzano il rombo.

  • Come sono i lati del quadrilatero ottenuto? Uguali o diversi? Questo ci basta per dire che si tratta di un rombo?
    Il quadrilatero ottenuto con la terza piega ha tutti i 4 lati uguali, perché per l’appunto corrispondono tutti alla stessa piega: proprio per questo motivo siamo sicuri che si tratta di un rombo.
  • Che angolo formano le diagonali del quadrilatero ottenuto? Lo possiamo stabilire solo grazie al fatto che sappiamo che si tratta di un rombo o anche per come sono state fatte le pieghe?
    Le diagonali del quadrilatero ottenuto sono perpendicolari; avendo già stabilito che si tratta di un rombo, non ci sarebbe bisogno di verificarlo, ma si potrebbe anche anticipare questa osservazione e notare che l’angolo tra le diagonali è retto perché esse corrispondono alle prime due pieghe, che sono tra loro perpendicolari.
  • Come sono gli angoli di questo rombo? Uguali o diversi?
    Gli angoli del rombo corrispondono, nel foglio rettangolare di partenza, agli angoli che formano  fra di loro le due diagonali. E, se il rettangolo non è un quadrato, questi non sono angoli retti.
  • Com’è la superficie del rombo così ottenuto in rapporto a quella del foglio rettangolare da cui siamo partiti?
    La superficie del rombo è la metà di quella del foglio di partenza;  infatti, ciascuno dei quattro rettangoli in cui il foglio di partenza risulta diviso dalle prime due pieghe viene diviso a sua volta dalla terza piega in due triangoli uguali fra loro (la terza piega li sovrappone!) e quindi di uguale area, uno dei quali interno e l’altro esterno rispetto al rombo.

Commenti

Il problema descritto in questo video, per quanto apparentemente sia costruito “solo” attorno alle proprietà del rombo, vuole essere anche una occasione per riflettere sulla simmetria.

La domanda concretamente rivolta agli alunni è solo una, ma vengono proposti molti altri spunti: starà all’insegnante decidere, a seconda della classe che ha di fronte, quanto entrare in profondità sulle diverse questioni che il problema apre.

Un problema significativo

All’inizio del video l’insegnante fa osservare ai ragazzi che, piegando un rettangolo (con i lati consecutivi diversi fra loro) lungo una delle sue diagonali, i vertici opposti che non stanno sulla piega non vanno a sovrapporsi. Non è raro che questo fatto sorprenda i ragazzi: a priori essi sono spesso convinti che, quando si piega il foglio rettangolare lungo la diagonale, le due metà del foglio si sovrappongano.

In effetti, la retta che contiene la diagonale non è un asse di simmetria del rettangolo.

Può sembrare un’osservazione banale, per noi adulti abituati a riconoscere le simmetrie, ma non è detto che lo sia anche per i ragazzini, che spesso invece associano l’idea di asse di simmetria a quella di “retta che divide a metà”, cadendo così in errore, anche sulla diagonale del rettangolo.

Piegando un foglio rettangolare lungo una diagonale, gli angoli opposti che non stanno sulla piega non vanno a sovrapporsi

Metacognizione

Attraverso le domande che vengono poste agli alunni, non ci si limita qui a fornire delle istruzioni affinché loro, diligenti esecutori, facciano determinate operazioni, ma si stimolano i ragazzi a riflettere su ciò che si sta facendo, a essere consapevoli delle conseguenze di ciascuna azione e del perché si agisce in un modo piuttosto che in un altro.

Questa può essere una buona lezione sull’imparare: non si è imparato qualcosa fino in fondo se non si è capito (oltre al “come” si fa) anche il “perché” si fa in quel modo.

Un percorso a ritroso

Questo problema si può anche considerare un percorso a ritroso, dal momento in cui, volendo motivare le nostre affermazioni, dobbiamo, dopo aver effettuato la costruzione, tornare indietro per comprendere quali sono state le conseguenze delle singole pieghe sulle proprietà delle figure ottenute.

Un problema aperto

ricerca di quadrilateri simmetrici

Il primo fatto che, attraverso il video, l’insegnante pone all’attenzione dei ragazzi è questo: piegando un foglio rettangolare lungo una diagonale, i vertici opposti non finiscono uno sull’altro, non vanno a sovrapporsi. A partire da questa osservazione, come abbiamo visto, possono nascere considerazioni sul tipo di simmetria del rettangolo, ma si può anche ampliare il problema ponendo altre domande, o dando voce alle domande che possono sorgere dai ragazzi.

In particolare, si può chiedere agli alunni: quale forma potrebbe avere un quadrilatero di carta, per essere sicuri che, piegando lungo una diagonale (una qualsiasi? tutt’e due?), i vertici opposti che non stanno sulla piega finiscano col sovrapporsi?
È una domanda che può sembrare banale, ma che – nelle classi in cui l’abbiamo posta – ci ha permesso di tornare su tanti concetti, di dare valore alle immagini che si formano nella mente dei nostri ragazzi quando pensano alla simmetria, ma anche di dare valore alle parole del linguaggio specifico della matematica.

La risposta corretta che più volte abbiamo ricevuto è questa: il foglio potrebbe avere forma quadrata.

Piegando un foglio di forma quadrata lungo una delle diagonali, i vertici opposti che non stanno sulla piega vanno a sovrapporsi - problema sulla simmetria dei quadrilateri

Alcuni alunni però si sono spinti anche oltre, proponendo di utilizzare un foglio a forma di rombo.

Piegando un foglio a forma di rombo lungo una delle diagonali, i vertici opposti che non stanno sulla piega vanno a sovrapporsi - problema sulla simmetria dei quadrilateri

Chi ha avuto la possibilità di coltivare di più la propria immaginazione, riesce a pensare anche a quadrilateri più “strani”. Alcuni alunni, per esempio, hanno pensato a un “quadrilatero formato da due triangoli isosceli attaccati”. Ecco allora che, a partire da risposte come questa, si possono sollecitare interessanti discussioni: è corretta? è sbagliata? va specificato meglio come i due triangoli vanno attaccati? va specificato meglio lungo quale diagonale si piegano?

Come spesso accade, è dalle risposte sbagliate che possono prendere spunto le discussioni più interessanti ed è dalle discussioni attorno alle risposte sbagliate che tutti – insegnanti e alunni – possono acquisire più consapevolezza.
Nelle classi in è stata posta questa domanda, ad esempio, si è andati oltre all’iniziale quadrilatero e alcuni alunni hanno risposto che il foglio poteva avere forma di triangolo isoscele (pensando – giustamente – che il triangolo isoscele ha un asse di simmetria) o poteva essere circolare (pensando – anche in questo caso giustamente – di poter piegare lungo un qualsiasi diametro facendo combaciare esattamente ogni punto di un semicerchio con un punto dell’altro semicerchio). Questa è stata l’occasione per riparlare di diagonali (un concetto tanto semplice quanto facile ad essere frainteso e soggetto a stereotipi), di vertici e di vertici opposti.

considerazioni sulla simmetria del rettangolo

Quando abbiamo chiesto, in classe, di motivare perché, piegando il foglio di carta rettangolare, i vertici opposti che non stanno sulla piega non finiscano col sovrapporsi, non pochi alunni hanno pensato di giustificare il fatto in questione dicendo che “il rettangolo non è un poligono regolare”.
Una risposta di questo genere può essere l’occasione per far riflettere i ragazzi  in modo “concreto” sull’implicazione: è vero che il rettangolo non è un poligono regolare e che, quando lo pieghiamo lungo una diagonale, i vertici opposti non vanno a sovrapporsi; è vero anche che il quadrato, invece, è un poligono regolare e che, quando lo pieghiamo lungo una diagonale, i vertici opposti vanno a sovrapporsi; ma… come la mettiamo, per esempio, con il rombo, o con l’aquilone (un quadrilatero con due coppie di lati consecutivi congruenti), che non sono poligoni regolari ma che si possono piegare lungo una diagonale in modo da far combaciare i vertici opposti?
Allenare i ragazzi a questi esempi e controesempi, a distinguere i nessi di causalità dalle semplici concomitanze è una delle occasioni da non perdere che possono essere date da questo problema.

C’è anche un altro motivo per cui ci pare significativo usare la simmetria del rettangolo per giustificare il comportamento del foglio rettangolare quando lo si piega.

Nei percorsi di apprendimento, non sempre viene utilizzata la piegatura della carta per fornire un modello di riflessione: a volte per esempio vengono utilizzati gli specchi, altre volte si fa riferimento solo ai disegni, magari su carta a quadretti. Naturalmente, una volta che il concetto astratto di riflessione si è consolidato, sarà facile passare con agilità da un modello all’altro, ma altrettanto naturalmente non è così quando il concetto si sta formando. Come docenti dobbiamo tenere presente che il confronto fra modelli diversi può essere per i ragazzi una difficoltà non irrilevante e che però è proprio da questo confronto che nasce poi il concetto astratto, sicché è assolutamente importante non stereotipare un concetto su un solo modello, ma cercare di sciogliere, nel tempo, la difficoltà insita nel passaggio da un modello all’altro.

il numero di pieghe e il numero di parti

Nelle classi in cui abbiamo proposto questa attività è stato interessante notare come, dopo aver visto il video, alla richiesta “In quante parti è stato diviso il foglio iniziale dalle 3 pieghe effettuate dall’insegnante?” le risposte non siano state univoche.

Nel video viene ampiamente mostrato il foglio riaperto dopo le tre pieghe: sia nel primo che nel secondo caso esso è diviso in otto triangoli rettangoli uguali fra loro. Eppure, terminato il video, alcuni ragazzi hanno affermato che “il foglio viene diviso in 3 parti, perché sono state fatte 3 pieghe”; e altri hanno ribattuto dicendo che “le parti sono 6, perché ciascuna delle 3 pieghe divide il foglio in due parti e 3 per 2 fa 6”. Cosicché la domanda, posta semplicemente con l’intento di riflettere sul rapporto tra l’area del rombo e quella del rettangolo, ha aperto la discussione in tutt’altra direzione: quella della corrispondenza tra il numero di volte in cui un pezzo di carta viene tagliato a metà e il numero di parti in cui il foglio stesso risulta diviso dalle pieghe.

Le risposte strampalate che abbiamo citato prima possono essere l’occasione anche per un’ulteriore riflessione. Forse i ragazzi di seconda media che hanno risposto in questo modo avevano guardato il video con poca attenzione, probabilmente non avevano provato a riprodurre le pieghe su un foglio, o forse hanno semplicemente attivato quella che a volte ci sembra di poter chiamare la “modalità cervello: off”. È triste, e dal nostro punto di vista paradossale, ma è sotto gli occhi di tutti gli insegnanti il fatto che, a volte, quando i ragazzi sentono una domanda “di matematica”, smettono di ragionare, non pensano più a ciò che hanno visto con i loro occhi o a ciò che potrebbero immaginare a buon senso, e si sentono semplicemente in dovere di usare i numeri che hanno a disposizione per fare un calcolo, non importa quale esso sia.
Del resto, questa strana idea della matematica come qualcosa in cui non serva il ragionamento è molto diffusa, non solo a scuola e non solo tra gli alunni. Quale idea della matematica traspare dalla “Prova di intelligenza” pubblicata su “La Settimana enigmistica” che riportiamo qui sotto?

Anche la "Settimana enigmistica" sembra essere del parere che matematica e ragionamento stiano agli antipodi! "Il numero esatto. 2207-esima prova d'intelligenza. Si tratta di determinare un cento numero basandosi solo sul ragionamento, e cioè senza alcun ricorso alla matematica..."

Uno degli obiettivi che l’insegnante si può porre proponendo problemi su problemi ai propri matematici in erba è proprio quello di sfatare questo falso mito sulla matematica.

Un problema di matematica con effetto sorpresa

Malgrado questo problema probabilmente non stupisca con effetti speciali, una sorpresa c’è ed è proprio all’inizio, nel momento in cui la professoressa sbaglia!
Non che sia sorprendente che una professoressa faccia errori, ma potrebbe esserlo il fatto che lo ammetta, senza spaventarsi, e che – anzi – chieda aiuto agli alunni per comprendere il motivo dei propri errori.

Il fatto che i ragazzi si stupiscano o meno di questo atteggiamento dipende, naturalmente, da come sono abituati: in ogni caso crediamo che sia uno stratagemma che, usato ad arte anche in altre occasioni, può spesso essere utile per richiamare l’attenzione dei ragazzi e quindi anche motivarli a trovare una risposta (magari… “per essere più bravi della prof…”).

Scenari possibili

L’attività di manipolazione proposta in questo video-problema è semplice, per chi ha un minimo di confidenza con la piegatura della carta.
Per bambini della scuola primaria anche il fatto di seguire le istruzioni date per riprodurre le pieghe in modo corretto può non essere banale; per ragazzi della scuola secondaria di primo grado, invece, ad essere sfidanti possono essere le richieste di motivazione.

Materiale necessario

Sarebbe bene che gli alunni guardassero il video avendo a disposizione almeno un paio di fogli di carta rettangolari.

Problemi collegati

Un altro video-problema che ha a che vedere con i rombi e con le piegature della carta è “Una cornice fatta di rombi“, di prossima pubblicazione. Se qui il rombo è il punto di partenza per parlare di simmetria, là diventa l’occasione per parlare di similitudini.

Un taglio a effetto

Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/HSvPk-GAxEk

Soluzione

Per condividere con gli alunni il video con la soluzione del problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/RwQ3uHWNmS8

Commenti

“Un taglio ad effetto” è un bel problema senza numeri: niente dati, niente operazioni, niente diagrammi di flusso… L’unica cosa che serve per risolverlo è  una buona dose di immaginazione.

Un problema significativo

Per quanto il problema sia ambientato in una cucina e sia presentato attraverso un linguaggio semplice, esso tratta di argomenti di tutto rispetto: il cilindro, le sezioni piane di un solido, la circonferenza, l’ellisse, le linee rette, le linee curve. Addirittura spunterà una sinusoide: naturalmente, il problema non richiede che i ragazzi già la conoscano, né si pone l’obiettivo di farla loro conoscere; possiamo però cominciare a farla osservare, il che faciliterà loro la vita quando più avanti la incontreranno.

Un problema memorabile

Difficilmente ci si può dimenticare di un problema di questo tipo, un po’ per come è presentato (attraverso oggetti concreti molto familiari ai ragazzi e di fronte ai quali di solito non pensano alla matematica), un po’ per il fatto che la soluzione è davvero sorprendente.

Soprattutto diventa impossibile dimenticarsene, come spesso accade, se si è davvero passato un po’ di tempo a cercare di risolverlo, a immaginarsi a cosa potrebbe assomigliare il foglio arrotolato attorno al würstel, tagliato e srotolato.

Non c’è un motivo specifico “in sé” che renda importante sapere (soprattutto per ragazzini della scuola media) come appare il foglio quando lo srotoliamo. In altre parole, il motivo per cui presentiamo il problema non è tanto il risultato, ma tutta una serie di “piccole cose” che possono derivare dal tentativo di immaginare la soluzione e che riguardano il modo di imparare la matematica, attraverso un processo di ricerca.  È di queste cose che parleremo nel prossimo paragrafo.

Metacognizione

Affrontare problemi come questo può aiutare i ragazzi a farsi un’idea della matematica e del come impararla un po’ più corrispondente al vero di quanto non lo siano stereotipi molto diffusi:

  • la matematica è certamente una materia astratta, fatta di idee più che di oggetti concreti; ma si tratta di idee piene di significato, che hanno a che fare con il mondo reale e che ci permettono di conoscerlo e descriverlo;
  • sia la realtà che la matematica sono piene di fatti e di situazioni sorprendenti che meritano di essere osservati, studiati, compresi… molto più di quanto non sembri da certi libri di scuola;
  • se la realtà e la matematica non ci sorprendono, può essere colpa del fatto che non ci poniamo domande significative al loro riguardo; a volte porsi delle buone domande è molto più interessante ed entusiasmante che conoscere le risposte;
  • per imparare la matematica non basta imparare e applicare regole ferree: occorre anche allenare la nostra immaginazione.

Un problema aperto

Perché il taglio va “su e giù”?

Il secondo video, quello in cui viene presentata la risposta al quesito posto dal problema, termina con una domanda: una volta scoperto com’è fatto il taglio, riusciamo a capire perché è fatto proprio così?
Potrebbe essere questa una delle prime direzioni verso le quali puntare con i ragazzi, sia nel caso in cui qualcuno fosse riuscito ad immaginare il giusto “profilo” del taglio, sia nel caso in cui tutti avessero pensato ad un “profilo” sbagliato, o non fossero riusciti ad immaginare alcunché.

Due osservazioni possono essere alla portata anche dei ragazzini della scuola secondaria di primo grado, o degli ultimi anni della scuola primaria.

  • Quando il coltello (e quindi il taglio) è perpendicolare all’asse del würstel, è anche parallelo al bordo del foglio; quindi tutti i punti del taglio sono equidistanti dal bordo del foglio, che è rettilineo, e quindi anch’essi stanno su una retta (parallela al bordo del foglio).
    Quando invece il coltello (e quindi il taglio) non è perpendicolare all’asse del würstel, non è nemmeno parallelo al bordo del foglio; quindi i punti del taglio sono alcuni più vicini ed alcuni più lontani dal bordo del foglio.
    Inoltre siccome il foglio gira attorno al würstel, se immaginiamo un punto muoversi lungo il taglio lo vedremo prima allontanarsi dal bordo e poi avvicinarsi di nuovo.
  • Il foglio non compie un unico giro attorno al würstel: essendo arrotolato attorno al würstel, finito un giro ne fa un altro, e poi un altro, e un altro ancora… Per questo motivo, il punto che si muove lungo il taglio e che abbiamo visto prima allontanarsi e poi avvicinarsi al bordo del foglio ripete questo movimento più e più volte, andando “su e giù” sempre nello stesso modo.

Fatte queste osservazioni, un buon modo per verificare se tutti le hanno interiorizzate può essere quello di chiedere ai ragazzini di disegnare come immaginano il profilo del taglio sul foglio srotolato quando il coltello fosse più o meno inclinato rispetto all’asse del würstel: che cosa rimane uguale a prima? che cosa cambia? come cambia?

Dall’oggetto concreto all’ente matematico

Più sono grandi i ragazzi ai quali ci rivolgiamo, più avrà senso usare i termini specifici del linguaggio della matematica per descrivere i “personaggi” di questo problema:  ecco allora che il würstel diventerà un cilindro, il coltello una sezione piana del cilindro, la “circonferenza allungata” una ellisse, il “profilo” del taglio sul foglio srotolato una sinusoide.

Per i ragazzi della scuola secondaria di secondo grado potrebbe essere un problema interessante quello di determinare la funzione il cui grafico corrisponda al “profilo” del taglio. A chi conosce già un po’ di trigonometria, verranno sicuramente in mente le funzioni seno e coseno, ma… si tratta solo di una somiglianza, o la curva che vogliamo descrivere è proprio una sinusoide? ascissa e ordinata dei punti di questa curva, a cosa dovranno corrispondere sul cilindro? quale funzione lega  l’ascissa e l’ordinata di questi punti? da quali parametri potrebbe dipendere il grafico della funzione trovata?

Cliccando sull’immagine qui sotto, si accederà ad una risorsa condivisa sul portale GeoGebra in cui abbiamo cercato di evidenziare le corrispondenze descritte poco sopra.

e se al posto del würstel mettessimo un altro oggetto?

Una volta compreso perché il foglio tagliato e srotolato mostra un certo “profilo”, avrà senso chiedere (anche a ragazzini più piccoli):

  • e se invece di arrotolare il foglio attorno a un würstel lo arrotolassimo attorno ad un prisma a base rettangolare (ad esempio, una scatola di torrone), quale “profilo” otterremmo con un taglio perpendicolare all’asse del torrone? e con un taglio non perpendicolare all’asse?
  • e se il foglio lo arrotolassimo attorno a una scatola di Toblerone (un prisma a base triangolare) quali “profili” otterremmo nei due casi?

Grazie a domande come queste, l’insegnante potrà capire se gli alunni si sono impadroniti della situazione, se hanno interiorizzato le riflessioni condivise sul perché il profilo del taglio è fatto in un certo modo.
Dal canto loro, i ragazzi potrebbero fare esperienza di una realtà fondamentale: se immaginare la curva nella situazione proposta dal problema sarà stato difficile (o, per qualcuno, impossibile), l’avere analizzato la situazione con occhi da matematici in erba permetterà loro di immaginare adesso situazioni diverse, con maggior consapevolezza e con maggior probabilità di successo.
E, grazie alle stesse domande, gli insegnanti potrebbero capire quanto gli alunni hanno interiorizzato

Un problema di matematica con effetto sorpresa

L’effetto sorpresa di questo problema è quasi garantito e, di fatto, già nei paragrafi precedenti ne abbiamo parlato.

Sotto la supervisione di un adulto sarebbe anche bene che gli alunni potessero sperimentare l’emozione di “fare una sorpresa” a qualcun altro: ai compagni di scuola di altre classi o, a casa, ai fratelli e agli ignari genitori.

L’emozione di “sapere come va a finire” una storia che gli altri non conoscono è una emozione positiva, che infonde sicurezza in chi la prova e che troppo raramente alcuni alunni riescono a provare: questa potrebbe essere l’occasione giusta!

Scenari possibili

I bambini della scuola primaria possono comprendere la richiesta del problema, possono usare la propria immaginazione e poi confrontare il prodotto della propria fantasia con il foglio effettivamente tagliato. Se saranno sinceri, difficilmente ci diranno di aver immaginato correttamente l’effetto del taglio sul foglio di carta, ma non per questo il problema sarà stato per loro poco significativo, anzi! Tutto ciò che si diceva prima a proposito dell’effetto sorpresa sarà sicuramente valido.

I ragazzi della scuola media potranno, probabilmente, descrivere meglio in termini matematici la situazione concreta: il würstel potrà diventare un cilindro, il coltello un piano, il foglio srotolato potrà diventare un altro piano, l’effetto del taglio sul foglio srotolato potrà essere considerato una curva piana. In base alla nostra esperienza, però, ci sentiamo di dire che tutto questo avverrà solo “a posteriori” e che anche per gli alunni della scuola secondaria di primo grado l’effetto sorpresa è garantito.

Studenti di scuola superiore ben abituati a “pensare geometricamente” potrebbero immaginare senza difficoltà la curva generata dalla sezione, ma sono davvero tanti i nostri alunni abituati al “pensiero geometrico”? Se così non fosse, questo problema può essere un primo tassello per aiutarli a riscoprirlo.

Materiale necessario

Non è necessario che gli alunni svolgano in prima persona l’attività descritta in questo problema (ed è comunque sconsigliabile che lo facciano da soli).

Sotto la supervisione di un adulto, però, potrebbe essere interessante che confermassero o falsificassero da soli le proprie ipotesi. In questo caso avranno bisogno di un würstel, un foglio di carta, un tagliere e un coltello.

Problema tratto da…

L’attività che qui abbiamo proposto sotto forma di problema è presentata, con alcune varianti, anche su alcune “fonti autorevoli” che ci piace qui citare.

La prima è Matematica per istantanee di Hugo Steinhaus (Zanichelli, 1994, traduzione italiana di Mathematical Snapshot, la cui prima edizione è del 1938): l’autore proponeva di avvolgere il foglio attorno ad una candela (invece che ad un würstel), ma il problema era sostanzialmente lo stesso.

Un taglio a effetto si ottiene anche se, invece del wurstel, si usa una candela, come proposto da Hugo Steinhaus in Mathematicla Snapshot - Un problema sul cilindro e lo sviluppo sul piano di una sua sezione

La seconda è l’articolo Unwrapping Curves from Cylinders and Cones di Tom M. Apostol e Mamikon A. Mnatsakanian (The Mathematical Association of America, monthly 114, May 2007), in cui viene proposta una variante che sarebbe bello qualche alunno provasse a realizzare, magari riprendendosi in un video. Immergendo parzialmente un rullo in una vaschetta di pittura (in modo che l’asse del rullo non sia né perpendicolare né parallelo al piano della superficie della pittura) e facendo poi scorrere il rullo su una superficie piana, si può ugualmente ottenere il profilo di una sinusoide.

Immergendo un rullo nella pittura si può ottenere una sinusoide, come illustrato da Apostol e Mnatsakanian

Le tre piramidi e il cubo

Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/-YKYb50LzY8

Soluzione

Ciascuna piramide ha 5 facce: un quadrato, due triangoli rettangoli isosceli uguali tra loro e altri due triangoli rettangoli uguali tra loro.
Ciascuna piramide ha 8 spigoli e 5 vertici.

Disegno di una delle tre piramidi identiche che insieme formano un cubo

Se lo spigolo del cubo che si ottiene unendo le tre piramidi misura 7 cm, le misure richieste  nel problema (facendo riferimento alla figura qui sopra) sono le seguenti:

  • i segmenti AB, BC, CD, DA, AV sono tutti spigoli del cubo e quindi misurano 7 cm;
  • i segmenti BV e DV sono diagonali delle facce del cubo e misurano 7√2 cm (ossia circa 9,9 cm);
  • il segmento CV è la diagonale del cubo e quindi misura 7√3 cm (ossia circa 12,1 cm);
  • l’area della base ABCE misura 49 cm2;
  • l’area dei triangoli rettangoli isosceli ABV e ADV misura 24,5 cm2;
  • l’area dei triangoli rettangoli BCV e DCV misura 24,5√2 cm2;
  • il volume della piramide misura 49×7/3 cm3=343/3 cm3 ossia circa 114,3 cm3.

Lo sviluppo piano della piramide descritta può essere rappresentato in modi diversi, ad esempio:

tre possibili sviluppi piani della piramide

Se indichiamo con s la misura dello spigolo del cubo che si ottiene unendo le tre piramidi, le misure richieste  nel problema (facendo riferimento alla figura qui sopra) sono le seguenti:

  • i segmenti AB, BC, CD, DA, AV hanno lunghezza s;
  • i segmenti BV e DV misurano √2s;
  • il segmento CV misura √3s;
  • l’area della base ABCE misura s2;
  • l’area dei triangoli rettangoli isosceli ABV e ADV misura s2/2;
  • l’area dei triangoli rettangoli BCV e DCV misura s2√2/2;
  • il volume della piramide misura s3/3.

Commenti

Un problema significativo

“Le tre piramidi e il cubo” permette, manipolando e osservando oggetti molto semplici, di avvicinarsi ad alcuni fatti della geometria solida elementare che tanto elementari non sono.

Per prima cosa, il problema fornisce un esempio concreto di piramide che (pur essendo una semplicissima piramide a base quadrata) è diversa da quelle che fanno parte dell’immaginario collettivo (come le piramidi d’Egitto) e che sono piramidi rette (ossia piramidi nelle quali il piede dell’altezza cade nel centro della circonferenza inscritta nel poligono di base). È buffo vedere come nei libri di testo della scuola media non si lavori mai su piramidi che non siano rette!

In secondo luogo, il problema permette di visualizzare la diagonale del cubo e la diagonale delle facce del cubo. Un altro modello molto utile a questo scopo è quello dello “scheletro” di un cubo costruito, per esempio, con cannucce e scovolini da pipa.

Inoltre questo problema rende visibile, in un caso particolare, il fatto che il volume di una piramide è 1/3 del volume di un parallelepipedo con lo stesso poligono di base e la stessa altezza. Non si tratta di una dimostrazione, chiaramente: è però un buon modo per convincere i ragazzi del fatto che la “formula” che trovano sul libro è plausibile e per rendere quella stessa formula più facile da memorizzare.

Metacognizione

“Le tre piramidi e il cubo” insegna, a proposito dell’apprendimento, che a volte possiamo conoscere meglio qualcosa scomponendolo in parti o, viceversa, componendo parti più semplici a formare un tutt’uno più complesso.

Questa abilità del passare dalla parte al tutto (e viceversa) o da un problema a dei sotto-problemi (e viceversa) si costruisce nel tempo, anche affrontando problemi come questo, in cui la parte e il tutto sono oggetti concreti.

Un problema memorabile

Come si diceva poco sopra, è probabile che i ragazzi, dopo aver toccato con mano le tre piramidi e il cubo che esse formano, ricordino più facilmente il fattore 1/3 nella formula che lega il volume della piramide all’area di base e all’altezza.

Un problema aperto

Una delle direzioni verso le quali è possibile proseguire il discorso aperto da “Le tre piramidi e il cubo” è quella dell’avvio all’algebra.
Nel video viene chiesto ai ragazzi più grandi (immaginiamo quelli della classe terza della scuola secondaria di primo grado, ma tutto dipende dal livello di confidenza raggiunto nell’uso delle lettere come numeri) di esprimere le lunghezze degli spigoli e le aree delle superfici delle facce della piramide in funzione della misura s dello spigolo del cubo.

A meno che i ragazzi abbiano già imparato a memoria eventuali formule presenti sul libro di testo, la cosa più difficile è manipolare l’algebra che permette di determinare, applicando il teorema di Pitagora, le misure della diagonale del quadrato e della diagonale del cubo.

La misura della diagonale BV della faccia del cubo è data da

√(s2+s2)=√(2s2)=√2·√s2=√2·s

La misura della diagonale CV del cubo è data da

√(s2+(√2·s)2)=√(s2+2s2)=√(3s2)=√3·√s2=√3·s.

Se i ragazzi da soli non riuscissero in questa “impresa”, vale la pena di accompagnarli, perché questo calcolo (se non lo si fa diventare un mero esercizio di tecniche imparate a memoria) permette di ritornare sulla definizione di radice quadrata e sul suo significato.
È esperienza comune di noi insegnanti, infatti, quella di ragazzini (e non solo ragazzini!) che sanno calcolare la radice quadrata di quadrati perfetti grandissimi, o sanno approssimare la radice quadrata dei numeri più strani (usando le tavole numeriche, la calcolatrice, o qualche algoritmo imparato più o meno a fatica), ma poi non sanno rispondere a domande come “qual è il quadrato di √3?” o che, per rispondere a domande tipo “qual è la radice quadrata del quadrato di 57?” prima calcolano il prodotto di 57×57 e poi estraggono la radice quadrata.

Trovare l’area delle facce della piramide non dovrebbe creare grosse difficoltà:

  • il quadrato di base ha area s2;
  • le facce a forma di triangolo rettangolo isoscele sono metà quadrato, quindi hanno area s2/2;
  • le altre due facce hanno ciascuna area
    (s·√2·s)/2=(√2·s2)/2.

Nelle classi in cui abbiamo proposto questo problema è stato interessante chiedere l’area totale della superficie dello sviluppo piano della piramide. Si è infatti creata l’occasione per rispondere, con un esempio, a una domanda pressante da parte dei ragazzi: a che cosa serve il calcolo letterale? L’espressione che si ottiene  applicando la proprietà distributiva alla somma delle singole aree è questa:
(2+√2)s2.
I ragazzi vedono immediatamente che questa espressione, anche se ha richiesto un po’ di “lavoro con le lettere” è più facile da gestire (ad esempio se chiediamo ai ragazzi di disegnarne il grafico o di farlo disegnare ad un foglio di calcolo) rispetto a quella “non semplificata”:
s2+2·(s2/2)+2·(√2·s2)/2.
Inoltre è interessante notare, insieme ai ragazzi, che le due espressioni possono essere entrambe utili per capire cose diverse: se la prima dice immediatamente che la misura della superficie dello sviluppo piano della piramide dipende solo dallo spigolo di base ed è direttamente proporzionale al suo quadrato, la seconda è di lettura meno immediata, ma può essere utile per mettere in evidenza l’area delle singole facce della piramide.

Un problema di matematica con effetto sorpresa

Nel video l’effetto sorpresa è “vanificato” dal fatto che il cubo viene mostrato presto. Ma può essere riconquistato facendo effettivamente costruire ai ragazzi le tre piramidi (una volta scoperto come deve essere lo sviluppo piano) e lasciando che essi chiedano ad amici e parenti se riescono a ricostruire, con esse, un cubo.

Scenari possibili

Il problema è, nel suo complesso, particolarmente adatto alle classi terze della scuola secondaria di primo grado o alle classi prime della scuola secondaria di secondo grado.
Evitando di indugiare sulla domanda che richiede un minimo di confidenza con l’uso delle lettere per esprimere numeri, può essere però anche molto adatto per una classe seconda media, come problema in cui si vede concretamente applicato, in modo significativo, il teorema di Pitagora.
E ancora: se ci si limita alla prima richiesta (contare i vertici e gli spigoli e descrivere la forma delle facce) può essere proposto anche a classi prime della scuola secondaria di primo grado o ad alunni della scuola primaria.

Materiale necessario

Nel caso in cui si chieda ai ragazzi di costruire le piramidi, sono necessari cartoncino, materiale da disegno, forbici e nastro adesivo.

Affettare un cubo

Partiamo da un cubo, coloriamone la superficie esterna di rosso e affettiamolo in cubetti, dividendo ogni spigolo in tre parti uguali, come in figura.

Siete d’accordo che i cubetti in totale sono 27 e che, fra questi, ce n’è uno solo (al centro) che non ha facce rosse, ce ne sono 6 con una sola faccia rossa, 12 con due facce rosse, 8 con tre facce rosse, e nessuno con più di tre facce rosse?

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2020 in numeri

Sul quotidiano inglese The Guardian, il 30 dicembre 2019 Alex Bellos ha proposto un gioco matematico (in realtà più di uno), come fa tutti i lunedì nella rubrica chiamata, appunto, Alex Bellos’Monday puzzles.

L’ultimo rompicapo del 2019 si intitolava 2020 in numbers.

Vi proponiamo, liberamente tradotti, due dei quesiti in esso contenuti, che speriamo vi appassionino come hanno appassionato i lettori di The Guardian!

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Il fregio di Halloween

Le maestre hanno deciso di decorare la scuola primaria di Tuttinfesta, in occasione della festa di Halloween, con un unico lunghissimo fregio che corre sulle pareti dei corridoi e delle aule.

Fregio formato da un modulo di 9 figure che si ripetono con regolarità
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Affettare un triangolo

Partiamo da un triangolo equilatero e dividiamolo in triangolini, suddividendo ogni lato in un certo numero di parti uguali. In questa prima figura ogni lato è stato diviso in 4 parti uguali e si sono così formati 16 triangolini. La cornice colorata in rosso comprende tutti i triangolini che toccano (anche solo con un vertice) il contorno blu del triangolo di partenza ed è formata da 15 triangolini, mentre all’interno della cornice resta un solo triangolino.

Triangolo equilatero suddiviso in 16 triangolini, a partire dalla divisione dei lati in 4 parti uguali, per un problema di avvio all'algebra

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Cosa si può fare con cinque quadretti

Luca è arrivato in classe l’altro giorno con questi due disegni, e ci ha raccontato che il suo amico Michel, che abita a Parigi e che è venuto a trovarlo nelle vacanze di Natale, gli ha detto che nella sua classe ne hanno costruiti tantissimi per via di un problema di geometria e che poi li hanno appesi alla parete per decorare la classe.
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C’è scatola e scatola

Alice e Vanessa sono sorelle e, come spesso accade, sono sempre molto attente a che una non riceva (da nonni, genitori o adulti in generale) qualche cosa in più dell’altra, che si tratti di attenzioni, di regali o del permesso di fare qualcosa.
Con grande gioia della mamma stanno mettendo in ordine la loro camera e vorrebbero avere una scatola per ciascuna, in cui mettere i propri braccialetti. Si mettono così a cercarle nell’armadietto dove sono riposte tutte le vecchie scatole vuote (di biscotti, di scarpe, di caffè, di cioccolatini…), ma dopo poco nasce un litigio furibondo, perché non ne trovano due uguali.
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Sgabelli cubici

A scuola sono arrivati un gran numero di cubi, da usare come sgabelli per una scuola materna; abbiamo a disposizione due colori, il giallo e il blu, e vogliamo colorare i cubi in modo tale che ogni faccia sia tutta dello stesso colore.
In quanti modi diversi li possiamo colorare?

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Tre indirizzi

Tre miei amici abitano a Pisa in via Ulisse Dini, in Lungarno Galileo Galilei e in Lungarno Fibonacci. Mi piacerebbe scrivere loro una cartolina, ma non ricordo i tre numeri civici. Mio fratello li sa, ma è dispettoso e mi dice soltanto che il loro prodotto è 36, un’informazione che certo non mi basta!
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La fabbrica di saponette

Una fabbrica di saponette vuole predisporre delle casse di imballaggio che contengano ciascuna 1000 saponette.

Quali dimensioni dovranno avere queste casse se le saponette hanno (approssimativamente) la forma di un parallelepipedo che misura 3 cm x 6 cm x 9 cm?
C’è un’unica risposta possibile o ce ne sono diverse?
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I cappelli di Giuliano

Il vostro amico Giuliano vi ha invitato alla sua festa di compleanno, con la condizione che dovete venire con un cappello a forma di cono, proprio come quelli dei gelati, ma capovolto, con la punta in su. Giuliano (che è un po’ strano…!) vi ha chiesto che il cappello sia proprio delle stesse misure di quello che avrà lui e, per rendervi il compito più difficile, non vi dice le misure del suo cono-cappello, ma vi dice soltanto che ci sta (giusto giusto) in una scatola a base quadrata, con il lato del quadrato di 20 cm, e l’altezza di 24 cm.
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Affettare un quadrato

Partiamo da un quadrato, mettendone in evidenza i lati (in figura colorati in rosso); tagliamolo in quadratini, dividendo ogni lato in tre parti uguali; come vediamo dalla figura, dei 9 quadratini ottenuti, uno non ha lati rossi, 4 hanno un solo lato rosso, 4 ne hanno due e nessuno ne ha più di due.

Un quadrato con i lati colorati di rosso, tagliato in nove quadratini, dividendo ciascun lato in tre parti uguali.

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