Almeno una testa!

Qual è la probabilità che lanciando 2 monete esca almeno una volta testa?
E lanciando 6 monete, qual è la probabilità che esca almeno una volta testa?

Soluzione

Lanciando due monete, la probabilità che esca almeno una volta testa è 3/4.
Lanciando sei monete, la probabilità che esca almeno una volta testa è 63/64.

Commenti

Strategie risolutive diverse

L’interesse del quesito discende dal fatto che è possibile affrontarlo con strategie diverse. Ciò è particolarmente significativo perché facilita all’insegnante il compito di far nascere tra i ragazzi una discussione che  potrebbe rivelarsi interessante e proficua.

Prima strategia risolutiva

Si tratta di contare tutti i casi possibili ed evidenziare poi i favorevoli.

Indicando con T il fatto che il lancio di una moneta ha dato come risultato “testa” e con C il fatto che il lancio di una moneta ha dato come risultato “croce”, se lancio due monete i casi possibili sono:

CC
CT
TC
TT
.

Nei casi segnati in verde almeno una volta è uscita testa, quindi i casi favorevoli sono 3 e la probabilità è 3/4.

Se invece lancio sei monete, i casi possibili sono molti di più:

CCCCCC
CCCCCT
CCCCTC
CCCCTT
CCCTCC
CCCTCT
CCCTTC
CCCTTT
CCTCCC
CCTCCT
CCTCTC
CCTCTT
CCTTCC
CCTTCT
CCTTTC
CCTTTT
CTCCCC
CTCCCT
CTCCTC
CTCCTT
CTCTCC
CTCTCT
CTCTTC
CTCTTT
CTTCCC
CTTCCT
CTTCTC
CTTCTT
CTTTCC
CTTTCT
CTTTTC
CTTTTT
TCCCCC
TCCCCT
TCCCTC
TCCCTT
TCCTCC
TCCTCT
TCCTTC
TCCTTT
TCTCCC
TCTCCT
TCTCTC
TCTCTT
TCTTCC
TCTTCT
TCTTTC
TCTTTT
TTCCCC
TTCCCT
TTCCTC
TTCCTT
TTCTCC
TTCTCT
TTCTTC
TTCTTT
TTTCCC
TTTCCT
TTTCTC
TTTCTT
TTTTCC
TTTTCT
TTTTTC
TTTTTT

Nei casi segnati in verde almeno una volta è uscita testa, quindi i casi favorevoli sono 63 e la probabilità è 63/64.

La costruzione, da parte dei ragazzi, dell’elenco completo dei 64 casi possibili potrebbe essere considerato un inutile dispendio di tempo. In realtà questa è una buona situazione in cui lasciare che ci provino perché:

  • i casi sono troppo numerosi per pensare di avere la certezza di elencarli tutti andando alla rinfusa;
  • il numero dei casi possibili è comunque sufficientemente piccolo da poter costruire un elenco completo in un tempo e in uno spazio accettabile.

Può essere dunque una buona occasione per far sperimentare ai ragazzi che, prima di contare, bisogna in qualche modo aver messo in ordine gli oggetti da enumerare, in modo da essere sicuri di non escluderne alcuno (e anche di non considerarne qualcuno più di una volta).

Seconda strategia risolutiva

Si può arrivare al medesimo risultato contando in maniera particolarmente ordinata i vari casi e sommando le probabilità di eventi disgiunti.

Nel caso in cui si lancino due monete, la probabilità che esca almeno una testa è data dalla somma delle probabilità che esca esattamente una testa con la probabilità che escano due teste.
Ora, la probabilità che esca esattamente una testa è data dalla somma delle probabilità che esca testa sulla prima moneta e croce sulla seconda, con la probabilità che esca croce sulla prima moneta e testa sulla seconda.
Considerando che la probabilità degli eventi elementari “esce testa” o “esce croce” è 1/2 e applicando la regola del prodotto si ottiene che, nel caso in cui si lancino due monete, la probabilità che esca almeno una testa è
(1/2⋅1/2 + 1/2⋅1/2) + 1/2⋅1/2 =
= 1/4 + 1/4 + 1/4 =
= 3/4

Lanciando sei monete, la probabilità che esca almeno una volta testa è data dalla somma della probabilità che esca testa esattamente 1 volta, con la probabilità che esca testa esattamente 2 volte, con la probabilità che esca testa esattamente 3 volte, e così via fino alla probabilità che esca sempre testa.
Considerando che la probabilità degli eventi elementari “esce testa” o “esce croce” è 1/2, applicando la regola del prodotto e andando a contare i casi possibili nella tabella qui sopra, si ottiene che, nel caso in cui si lancino sei monete, la probabilità che esca almeno una testa è
6 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 + 15 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 + 20 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 + 15 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 + 6 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 + 1 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 =
= 6 ⋅ 1/64 + 15 ⋅ 1/64 + 20 ⋅ 1/64 + 15 ⋅ 1/64 + 6 ⋅ 1/64 + 1 ⋅ 1/64 =
= (6+15+20+15+6+1) ⋅ 1/64 =
= 63/64

Terza strategia risolutiva

Se vogliamo paragonare le due strategie, con il lancio di due monete ci conviene la prima, ma con il lancio di sei siamo in difficoltà con entrambe.

Una terza strategia (che potremmo chiamare “usare le regole con intelligenza”) permette di arrivare più rapidamente alla conclusione (e con la sicurezza di non aver contato male).

Questa strategia parte dal considerare che l’evento “esce almeno una volta testa” è il complementare dell’evento “esce sempre croce”. Quindi la probabilità cercata è data dalla differenza tra 1 e la probabilità dell’evento “esce sempre croce”.

In particolare, se lancio due monete, la probabilità che esca sempre croce è  1/2 ⋅ 1/2 = 1/4 e quindi la probabilità che esca almeno una testa è

1 – 1/4 = 3/4

Se lancio sei monete, la probabilità che esca sempre croce è
1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 = 1/64
e quindi la probabilità che esca almeno una testa è
1 – 1/64 = 63/64.

Oltre il problema…

Il quesito appena visto mostra come la nozione di complementare possa essere l’occasione per una riflessione non banale da cui dovrebbe emergere che “complementare” non significa “opposto” (il complementare dell’insieme dei bellissimi non è l’insieme dei bruttissimi, bensì l’insieme dei non bellissimi).

Così il complementare di “nessuno ride” non è “tutti ridono” ma “almeno uno non ride” e, viceversa, il complementare di “tutti i numeri sono primi” non è “nessun numero è primo” ma “almeno un numero non è primo”.

Più in generale abbiamo qui l’occasione per un lavoro logico – linguistico che è parte fondamentale della didattica della matematica, specie nella scuola di base e che è indispensabile affinché i ragazzi imparino ad analizzare e comprendere testi di tipo argomentativo e non solo.

Scenari possibili

Gli strumenti matematici che è necessario che i ragazzi abbiano acquisito per affrontare questo problema non sono particolarmente complicati, quindi lo si può affrontare in tutte le classi della scuola secondaria in cui si sia introdotta la probabilità.

Noi lo abbiamo testato con successo in alcune classi terze della scuola secondaria di primo grado, ma (viste anche le molteplici strategie risoluive che i ragazzi possono mettere in atto) può essere proposto anche nelle classi precedenti, qualora si inizi ad affrontare la probabilità in prima o in seconda.

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