Come probabilmente vi sarà già capitato di vedere, a volte all’entrata di un negozio o di un ufficio vengono distribuiti dei numeretti per stabilire in che ordine le persone arrivate saranno servite, in modo da evitare litigi o spiacevoli discussioni.
Alla festa della scuola, gli insegnanti di matematica decidono di fare una cosa simile presso il banco in cui vengono distribuite le bibite, con una (apparentemente!) piccola variante: hanno stabilito che ciascuno può scrivere sul proprio bigliettino il numero che vuole; non è necessario che sia un numero intero, va bene anche 3/4 o 5/9, a patto che sia maggiore di quello scritto da chi, in quel momento, sta ricevendo la propria bibita. Il primo ad essere servito è stato un professore, che sul proprio bigliettino aveva scritto 2/7.
Quando Samantha e Teresa si avvicinano al banco assetate, gli incaricati stanno servendo da bere a Renzo, che sul proprio bigliettino aveva scritto 5/11. In coda dietro Renzo c’è Umberto, che sul bigliettino ha scritto 6/11.
Samantha, spavalda, si inserisce tra Renzo e Umberto e si appresta a scrivere qualcosa sul suo bigliettino. Teresa, più timida, cerca di trascinarla dietro Umberto dicendole che non hanno speranza di trovare un numero che stia tra 5/11 e 6/11.
A chi dareste ragione: a Samantha o a Teresa? Perché?
Soluzione
Samantha ha ragione, perché ci sono frazioni che sono maggiori di 5/11 e sono minori di 6/11 (ad esempio 1/2).
Commenti
Un problema significativo
Questo problema sicuramente incontra un concetto fondante, un nodo significativo della matematica, sul quale spesso si “sorvola”, leggendo solo qualche cenno sul libro di testo: il passaggio dall’ambiente dei numeri naturali a quello dei numeri razionali.
In particolare qui si vuole far notare ai ragazzi il fatto che, mentre nell’ambito dei numeri naturali esiste il concetto di “consecutivo” e tra due numeri naturali consecutivi non ce n’è compreso nessun altro, nulla di analogo accade nell’ambito dei numeri razionali.
Anzi: comunque si fissino due numeri razionali diversi tra loro, esistono infiniti altri numeri razionali compresi tra essi.
In altre parole: questo problema consente di far “toccare con mano” ai ragazzi che ha senso parlare di numeri naturali consecutivi, così come ha senso parlare di “successivo” di un numero naturale, mentre non si può parlare di numeri razionali “consecutivi”, nè di “precedente” o “successivo” di un numero razionale (come a volte invece anche alcuni testi inducono a fare).
Metacognizione
Una prima “lezione” che gli alunni possono trarre da questo problema è quasi ovvia (o comunque ricorrente): bisogna sempre pensare, prima di rispondere, perché non è detto la la prima risposta che ci viene in mente sia quella giusta!
Ma c’è anche una riflessione più profonda e contemporaneamente più specifica, legata a quanto si diceva poco sopra, che, col tempo, è importante che gli studenti facciano propria e alla quale questo problema può contribuire: l’ambiente numerico dentro il quale si agisce può cambiare radicalmente le leggi che governano il comportamento dei numeri e quindi, di conseguenza, i procedimenti che dobbiamo mettere in atto per risolvere un dato problema.
Questa riflessione ve ben oltre il problema contingente: tornerà utile per cogliere le differenze tra la sottrazione in N e in Z, o tra la divisione in Z e in Q, o tra l’estrazione di radice quadrata in Q e in R…
Un esempio con cui i ragazzi che affrontano frazioni e numeri decimali si sono probabilmente già scontrati (anche se forse purtroppo in maniera non consapevole) è quello della divisione: essa ha un carattere completamente diverso in Z e in Q. La divisione nell’ambito dei numeri interi (purché il divisore sia diverso da zero) fornisce due “output” interi: il quoziente e il resto. La divisione nell’ambito dei numeri razionali fornisce invece un unico risultato: il quoziente razionale (sempre a patto che il divisore sia diverso da zero).
Un problema memorabile
Invece di raccontare la storia dei numeretti, si potrebbe seplicemente chiedere ai ragazzi: “Quante frazioni ci sono tra 5/11 e 6/11?”.
Il tipo di riflessione che verrebbe richiesto di fare agli alunni sarebbe, dal punto di vista della matematica, certamente lo stesso. Ma probabilmente sia la richiesta che la risposta sarebbero presto dimenticate.
La forma data al problema, attraverso la narrazione, consente innanzitutto di appassionare i ragazzi alla questione, di dare loro una motivazione in più; in secondo luogo essa rende il problema memorabile, nel senso di “difficile da dimenticare”.
Quando, a distanza di tempo, si dovesse presentare l’occasione di chiedere ai ragazzi di rispondere ad una domanda simile (ad esempio: “Quante frazioni ci sono tra 28/57 e 29/57?”) è probabile che – ricordandosi di Samantha al banco delle bibite – la risposta venga quasi immediata!
Strategie risolutive diverse
Gruppi diversi possono risolvere questo problema attraverso strategie diverse: anche questo rende “Furbetti in coda” un problema interessante.
Qualcuno potrebbe accorgersi che 5/11 è meno di metà intero e 6/11 è più di metà intero (non necessariamente, ma eventualmente, passando dal confronto tra 5,5 – che è la metà di undici – e i numeratori 5 e 6).
Qualcuno potrebbe scrivere due frazioni equivalenti a quelle date, fino ad accorgersi che
5/11 = 10/22 < 11/22 < 12/22 = 6/11.
Altri potrebbero spingersi oltre, notando anche che
5/11 = 15/33 < 16/33 < 17/33 < 18/33 = 6/11
E così via.
Un problema aperto
Nella narrazione del problema si è scelto di inserire due amiche, Samantha e Teresa, che la pensano diversamente rispetto alla possibilità di trovare un numero compreso tra 5/11 e 6/11, al fine di stimolare la discussione anche nei ragazzi.
Una delle caratteristiche che speriamo questo problema possa avere, infatti, è proprio quella di scatenare il confronto, la discussione aperta e in definitiva la costruzione collettiva di pensiero critico.
Una volta data risposta alle domande esplicite del problema, può essere che i ragazzi se ne pongano altre. Se così non fosse, potrebbe essere l’insegnante a stimolare il proseguire della discussione, per esempio chiedendo se qualcun altro, oltre a Samantha, potrebbe trovare un modo (lecito) per inserirsi tra Renzo ed Umberto, o chiedendo addirittura quanti altri furbetti e furbette potrebbero inserirsi in coda prima di Umberto!
Insieme ai ragazzi si potrebbero costruire (e risolvere) anche alcune varianti di “Furbetti in coda”. Ne accenniamo due, tra le tante possibili:
- Renzo ed Umberto potrebbero aver scritto sui loro biglietti due numeri decimali, invece che due frazioni;
- oppure gli insegnanti potrebbero aver posto vincoli particolari sui numeri da scrivere sui foglietti (per esempio: se un alunno ha scritto sul proprio foglietto un numero decimale, la persona che vuole mettersi dopo di lui deve scrivere una frazione, e viceversa).
Un problema di matematica con effetto sorpresa
Una insegnante di scuola secondaria di primo grado, che propose un problema simile a questo nella propria classe, chiese ad una degli alunni che sensazioni avesse avuto dall’esame del problema. La risposta dell’alunna fu:
Stupore, sgomento e meraviglia. Questo problema mi ha lasciato a bocca aperta. Generalmente se penso ad una cosa infinita, penso a qualcosa di grandissimo, infinito appunto. Ma pensare ad una cosa infinitamente piccola…? Cioè: una cosa infinitamente grande è una cosa in continua espansione e la posso tollerare; ma una cosa che diventa sempre più piccola prima o poi sparisce, o no?
Questo commento, e altri – magari espressi con un linguaggio meno forbito – che abbiamo sentito fare da ragazzi che hanno affrontato “Furbetti in coda”, ci conferma nell’idea che sia un problema dal quale scaturisce qualcosa di inatteso e spiazzante.
Sentire un ragazzino di seconda media che, realizzando quanti furbetti e furbette possono infiltrarsi in coda tra Renzo e Alberto, esclama
Oh, cavolo! Ma sono fo**uti!
è la conferma della sorpresa suscitata da questo problema e ci fa davvero pensare che non lo si dimentichi facilmente.
Possibili scenari
Questo problema è stato proposto con successo sia ad alunni delle classi prime sia ad alunni delle classi seconde della scuola secondaria di primo grado.
Per la semplicità della sua formulazione si presta però ad essere presentato anche nelle classi quinte della scuola primaria; così come – per la significatività del nodo concettuale che va a toccare – potrebbe essere proposto anche in una classe prima della scuola secondaria di secondo grado, come domanda stimolo per avviare una riflessione sulle proprietà che caratterizzano l’insieme dei numeri razionali, in particolare la densità.
Problema tratto da…
Questo problema è una variazione di uno di quelli proposti dal professor Giuliano Spirito nel modulo “Un bel problema” del corso MathUp “Problemi e approfondimenti” per la Scuola secondaria di primo grado nell’anno scolastico 2018 / 2019.
Problemi collegati
Qui sotto trovate un video che propone una maniera alternativa con cui presentare il problema agli alunni, giocando sul fatto che il contesto narrativo in cui è inserito si presta a essere raccontato e quasi teatralizzato.
