Un bel problema

Che cosa è un problema?

Il vocabolario della lingua italiana Devoto-Oli come prima definizione della parola problema dà questa: “Quesito di una certa difficoltà che attende una soluzione”.

L’espressione “di una certa difficoltà” in qualche modo potrebbe far luce sulla distinzione tra quesito e problema che c’è, ma rimane implicita, nella normativa relativa alla prova scritta di matematica per gli Esami di Stato: un problema sarebbe semplicemente un quesito un po’ più difficile degli altri.

Anche le Indicazioni Nazionali dicono che cosa differenzia un problema da un esercizio o un quesito: infatti, nell’affermare che caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, spiegano che essi

devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.

Le Indicazioni Nazionali proseguono elencando numerosi processi che attraverso i problemi l’alunno impara a mettere in moto: rappresentare, esplorare, individuare i dati, congetturare, scegliere strategie, matematizzare, formalizzare, generalizzare, riconoscere schemi, stabilire analogie, esporre, descrivere, argomentare…

Ed è chiaro che questo modo di intendere i problemi non ha nulla a che fare con quello di molti sussidiari e libri di testo delle Scuole secondarie di primo grado, che spesso ancora usano la parola “problema” per indicare un esercizio di calcolo camuffato da un contesto: se in una prima media (dopo aver fatto studiare ai ragazzi quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo) chiedo di calcolare l’ampiezza del terzo angolo di un triangolo sapendo che il primo misura 35°21’44” e che il secondo misura 72°49’57”, sto semplicemente cercando un pretesto per far fare agli alunni l’ennesimo calcolo sessagesimale.

Un “problema” come questo non presenta questioni davvero “autentiche e significative”, né stimola gli alunni ad attivare nella loro mente i processi che le Indicazioni Nazionali sottolineano.

E questo lo diciamo alla luce della nostra (lunga, vasta e varia) esperienza sul campo, accompagnata da riflessioni e ripensamenti critici e dal confronto con i più importanti riferimenti culturali, all’interno e all’esterno della nostra disciplina.

In questa pagina ci apprestiamo allora ad elencare quelle caratteristiche che, a nostro parere, rendono un problema un bel problema, ossia una attività didattica che contribuisca a rendere più profonda la comprensione delle idee e ad accrescere le competenze matematiche di coloro che la affrontano.

Che cosa è un bel problema?

Significatività matematica

A Trieste, sulla facciata della sinagoga, la rappresentazione di un nodo formato da due componenti doppiamente allacciate (nodo di Salomone)

Un bel problema di matematica è un problema che incontra concetti fondanti, o almeno nozioni significative della disciplina.

Possiamo prendere come esempio il problema L’ultima cifra; esso incrocia un contenuto forte della matematica: la questione delle classi di resto o, se vogliamo usare termini più aulici, l’aritmetica modulare; più familiarmente la divisione con resto.

Si tratta di un argomento che non siamo tenuti certo ad introdurre in modo sistematico nella scuola del primo ciclo, ma che (accostato in questo modo, tramite problemi) stimola gli alunni all’osservazione e al ragionamento, creando le premesse perché possano, a tempo debito, riconoscere strutture algebriche semplici (perché costituite da pochi elementi), ma significative.

Metacognizione

Da un bel problema si può trarre in qualche modo un insegnamento, una lezione, potremmo dire in modo suggestivo “una morale”.

In altre parole, un bel problema insegna qualcosa a chi lo risolve che va oltre la soluzione stessa del problema: potremmo dire, utilizzando il linguaggio della Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio del 18 dicembre 2006 (2006/962/CE) ripresa nelle Indicazioni Nazionali, che un bel problema consente a chi lo affronta di imparare ad imparare.

Riferendosi ancora al problema L’ultima cifra, possiamo dire che gli alunni che lo affrontano hanno l’occasione di esplorare uno schema astratto che potranno riconoscere e utilizzare ogni qual volta abbiano a che fare con situazioni in cui i casi possibili sono in numero finito e si ripetono con regolarità (ad esempio le ore del giorno, i giorni della settimana, i mesi dell’anno, le conte…).

Memorabilità

Un bel problema è, in un qualche modo, memorabile (ossia si presta a rimanere fissato nella memoria degli alunni), grazie alla storia che racconta e al modo con cui la storia è raccontata.

Decorazioni ottenute accostando triangoli isosceli con i lati uguali di 5 quadretti, disegnati su carta quadrettata
Realizzazione della classe 1aA, scuola “Fainelli”, Verona, anno scolastico 2018 / 2019

A rendere memorabile un problema, può essere dunque il contesto in cui è inserito, il testo narrativo che lo introduce.
I problemi dati in un contesto astratto, che pure possono presentare alcuni vantaggi, hanno spesso il difetto di essere facilmente dimenticati, al pari degli esercizi. Le belle storie, invece, si ricordano con maggior facilità; e se una bella storia è associata ad un problema significativo, è probabile che – ricordando la storia – gli alunni ricordino anche il problema, le strategie che avevano utilizzato per affrontarlo e la soluzione ottenuta.

Ad esempio, è facile che il problema I cappelli di Giuliano torni alla mente degli alunni ogni volta che avranno a che fare con un cono, o con un settore circolare, o con questioni legate alla misura; molto più improbabile è che gli alunni si ricordino le formule, o tanti esercizi ripetitivi fatti sui coni, sugli archi di circonferenza o sulla misura di segmenti.

Ma a rendere memorabile un problema può essere anche la maniera in cui il docente lo presenta alla classe, adattando un contesto del tutto anonimo ad una particolare situazione (la classe, la scuola, l’ubicazione geografica, l’edificio scolastico) o alle peculiarità dei ragazzi o di personaggi da loro conosciuti). In altre parole, l’insegnante che conosce la sua classe può adattare il testo di un problema, facendo da mediatore intelligente tra l’autore del libro di testo e i suoi studenti, trovando il modo per contestualizzare la medesima struttura matematica in qualcosa che sia significativo, e quindi memorabile, per gli alunni della sua classe.

Entrando nei particolari, elenchiamo ora alcune attenzioni da porre quando si scrive (o si ri-scrive, adattandolo alla propria classe) il testo di un problema, al fine di renderlo il più possibile memorabile.

  • È utile che il testo rimandi ad un vissuto emotivamente non neutro, che sia significativo per gli alunni, che sia in qualche modo legato alla loro esperienza; in questo modo il problema diventa quasi automaticamente coinvolgente.
  • Spesso hanno successo con i bambini e i ragazzi narrazioni che portano con sè qualcosa di paradossale, il che probabilmente non è un caso, visto che i paradossi hanno da sempre stimolato così tanto la fantasia e la creatività di filosofi, scienziati, matematici, artisti e scrittori.
  • Aiuta a catturare e a tener desta l’attenzione degli alunni una scrittura vivace, non paludata, ossia non ampollosa o ridondante; aiuta, soprattutto, non rifuggire dal registro dell’ironia.
  • Allo stesso tempo è però necessario porre attenzione a non adottare un linguaggio che mimi maldestramente quello dei bambini e dei ragazzi e a non assumere forzatamente il loro immaginario: si risulterebbe innaturali (per non dire patetici) e si rischierebbe di incollare i nostri alunni ad immagini stereotipate.
  • Ovviamente è necessario un equilibrio tra l’apparato narrativo che si sceglie e l’obiettivo che il problema si propone di far conseguire agli alunni; non avrebbe senso elaborare una narrazione complessa e lunga se l’obiettivo non fosse davvero rilevante.

Percorsi a ritroso

Una teca con una luce in alto, un ripiano per degli oggetti, e un'anta che permette di nascondere questi oggetti e vederne solo le ombre. Si vede così che lo stesso oggetto può dare ombre diverse (nella foto un cubottaedro, appoggiato una volta sulla faccia quadrata e un'altra volta sulla faccia triangolare); ovvero che oggetti diversi possono proiettare la stessa ombra (nella foto tre ombre quadrate - proiettate da un cubo, da un cubottaedro, e da una stella octangula - e tre ombre esagonali - proiettate da un ottaedro, da un icosaedro, e da un altro cubottaedro)

I cosiddetti “problemi inversi” sono spesso interessanti.

Si tratta di problemi che presentano una situazione finale e che chiedono di ricostruire da quali condizioni iniziali quella situazione può essere stata generata, rispondendo a domande del tipo: che cosa deve succedere perché le cose vadano in un certo modo?

I percorsi a ritroso sono particolarmente utili per impadronirsi di una struttura, costringono a cimentarsi con un ragionamento di tipo euristico e costituiscono per questo una palestra di ragionamento interessante e formativa.

Un esempio molto semplice, ma comunque significativo, è il problema Il prodotto è 3024.
È l’inverso di un “problema” talmente banale da non poter essere considerato un problema: qual è il prodotto dei numeri 6, 7, 8 e 9?
Nel cercare di rispondere alla domanda inversa (ossia nel cercare quattro numeri il cui prodotto sia 3024) è quasi naturale che i ragazzi adottino un ragionamento di tipo euristico (inteso non come l’andare a tentoni, ma come il fare tentativi ragionati) ed è probabile che riescano a impadronirsi meglio del concetto di multiplo e di divisore.

Un altro esempio di problema inverso è I cappelli di Giuliano.
In esso, si parte dalle misure di una scatola (un parallelepipedo a base quadrata) e si chiede di costruire un cappello a forma di cono che stia “giusto giusto” in quella scatola.
Si può arrivare alla soluzione per prove ed errori, per approssimazioni successive, cercando di ragionare su ciascuno dei tentativi fatti: questo modo di procedere può sia far toccare con mano le difficoltà connesse con il misurare, sia condurre gli alunni verso il concetto di funzione (ragionare sui tentativi significa cercare di capire quali grandezze dipendono da quali altre e in che modo intervenire su di esse per ottenere il risultato sperato).

Strategie risolutive diverse

Il coperchio di un vassoio, a forma di cono.

Un problema davvero interessante ammette strategie risolutive diverse.

Ad esempio, per risolvere il problema I cappelli di Giuliano, è presumibile che gruppi di ragazzi diversi adottino strategie diverse: qualcuno si butterà immediatamente nella costruzione di coni di carta, procedendo per tentativi ed errori (e anche qui i vari tentativi potrebbero susseguirsi in modi diversi), qualcun altro lo farà solo dopo aver calcolato l’apotema del cono con il teorema di Pitagora, altri ancora calcoleranno anche l’ampiezza dell’angolo al centro del settore circolare con una proporzione.

Problemi alla cui soluzione si possa giungere seguendo percorsi diversi rendono assolutamente “naturale” un aspetto che altrimenti si ha nella scuola poche occasioni di esplorare, e cioè il fatto che i ragazzi discutano fra loro (di matematica); questo aspetto è prezioso, anche in vista dell’attenzione che le Indicazioni Nazionali richiedono di porre rispetto a capacità che hanno a che fare con il dialogo e il confronto:

Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.

Pluralità di soluzioni

Una tassellazione uniforme di tipo (3,3,4,3,4), cioè con un quadrato, due triangoli equilateri, un quadrato, un triangolo equilatero intorno a ogni vertice. Con quadrati e triangoli equilateri esiste anche un'altra tassellazione uniforme.

L’esistenza, per un certo problema, di una pluralità di soluzioni lo arricchisce non poco. Il fatto che ci sia più di una soluzione può essere destabilizzante per gli alunni, perché la loro aspettativa è che ogni problema ammetta una soluzione, sempre e comunque, e per di più ne ammetta una sola!

Smontare questo stereotipo è già di per sè positivo [1], ma il fatto che un problema abbia una pluralità di soluzioni porta anche un altro vantaggio, perché apre il discorso alla discussione di queste soluzioni, permettendo così anche di espandere il problema: le soluzioni sono tutte ugualmente plausibili, accettabili, sensate?

A volte può succedere che il modello matematico creato per risolvere il problema porta a più soluzioni, ma il contesto in cui il problema è inserito ci obbliga a scartarne alcune. Per esempio: se le soluzioni sono pecore, o bambini, va scartata una risposta come 7/5 o √3; se la risposta dà la lunghezza, in centrimetri, di un segmento che so (per altri motivi, connessi alla formulazione del problema) di poter disegnare sul mio quaderno, va scartata la risposta -7, ma anche una risposta come 7584.

Abituare i ragazzi a controllare le proprie risposte, a non snobbare le verifiche, a ritornare sui propri passi e rileggere la formulazione iniziale del problema per controllare se le loro risposte sono compatibili con le richieste significa creare un’ottima abitudine, che permetterà loro di evitare molti errori (e non solo in matematica).

Problemi aperti

Scriveva Henri Poincaré che

solo i problemi poco interessanti si possono formulare in maniera non ambigua e si possono risolvere completamente.

In maniera forse meno “ad effetto” potremmo dire che i problemi davvero interessanti sono problemi “aperti”, e lo sono in senso profondo; in essi la narrazione autorizza punti di vista diversi, eventualmente anche opposti, ma entrambi legittimi, due (o più) verità contrastanti ma non incompatibili.

A pensarci bene, la sensibilità didattica e la sensibilità matematica di un insegnante possono rendere “aperto” anche un problema che si presenti di per sè molto chiuso, molto ben definito e confinato in sè stesso.

Scriveva George Pólya in Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica del metodo matematico (UTET 2016, traduzione di How to solve it, Princeton Univercity Press 1945):

Un bravo insegnante dovrebbe riuscire a far comprendere, ed inculcare ai suoi allievi la consapevolezza, che nessun problema di matematica può essere considerato definitivamente chiuso. Resta sempre qualcosa da dire ancora sopra di esso; con uno studio ed un’applicazione accurati, si può perfezionare qualunque risoluzione e, in ogni caso, si può sempre giungere ad una più profonda comprensione del risultato.

Sul muro di una casa di Obidos (Portogallo), l'ombra del cornicione della casa accanto costituisce un esempio di fregio.

Come fare?
Un primo modo per rendere “aperto” un problema è quello di cogliere e valorizzare gli errori dei ragazzi. Quando l’errore di un alunno deriva da una cattiva interpretazione di un testo che di per sè non darebbe adito a interpretazioni diverse, ci si può chiedere: come avremmo potuto scrivere il testo perché tutti lo interpretassero come quell’alunno? O come avremmo potuto scrivere il testo affinché ci fosse libertà di interpretazione? Oppure ancora: la questione proposta dal testo e la situazione immaginata dall’alunno sono entrambe plausibili?
Un altro modo che abbiamo per “aprire” un problema è valorizzarne le potenzialità, percorrendolo in lungo e in largo e presentandone varianti, senza perdere alcuna occasione didattica; ogni problema può diventare lo spunto per affrontare una serie di questioni utili e interessanti. Ci si può chiedere se si sono usati tutti i dati, o se viceversa alcuni erano inutili. Si può cambiare un dato e vedere che cosa succede. Si può cambiare un quantificatore e vedere che cosa succede.
Ancora ci si può chiedere: ora che abbiamo risolto questo problema che ci sembrava tanto nuovo, diverso da tutti quelli che avevamo incontrato prima, notiamo invece delle somiglianze con altri problemi che avevamo già risolto? Oppure: riusciamo ad inventare altri problemi che si possano risolvere in questo stesso modo?

Difficoltà

Una sezione tridimensionale di un politopo regolare stellato

Un problema interessante è sempre, in qualche modo, difficile.

Un problema porta con sè, come si evince dalla stessa definizione del Devoto-Oli, “una certa difficoltà” non perché richieda conoscenze o abilità particolari, ma perché richiede a chi lo affronta di usare la testa e di percorrere una “strada nuova”: sono di fronte a qualcosa che per me è un vero problema solo se non mi è stata data in precedenza una ricetta per risolverlo, solo se non mi è stata fornita una procedura da eseguire passo passo.

Per questo motivo abbiamo deciso di non distinguere qui, su Problemi per matematici in erba, tra problemi facili e problemi difficili, o tra problemi con un livello di difficoltà basso, medio, alto (come si fa invece su molti testi, anche, ma non solo, scolastici): un problema per il quale non sia stata già predisposta la via risolutiva è sempre difficile per chi lo affronta per la prima volta, anche quando è assolutamente elementare; in caso contrario (e pensiamo qua ai cosiddetti “problemi standard”, così frequenti nei libri di testo, in cui si tratta di applicare una certa regola e eseguire determinati calcoli) è un “esercizio”. Scrive Giorgio Bolondi in La matematica quotidiana (Mimesis, 2005, Milano):

Uno stesso testo può essere un problema se chi lo sta affrontando non conosce a priori cosa deve fare per risolverlo, e un esercizio in caso contrario. Non stiamo facendo qui sottigliezze terminologiche: stiamo cercando di riflettere sui diversi tipi di consegne che possiamo dare ai ragazzi.
Ciò è vero in particolare per le operazioni aritmetiche: ed è per questo che la maggior parte dei problemi presenti nei testi tradizionali sono di fatto esercizi di verifica sulle operazioni aritmetiche. Il problema scolastico standard è quindi effettivamente un utile strumento per fare esercizi sulle operazioni aritmetiche. L’esperienza però ci insegna che limitarsi a questo tipo di problemi non solo tende a svuotare di senso l’attività matematica per ridurla ad un gioco di regole e ricette, ma può essere decisamente dannoso.

Sorpresa

L'immagine mostra l'effetto che si ottiene mettendo tre palline di colori diversi nel caleidoscopio che corrisponde al gruppo di simmetria del cubo. Le palline (di ciascun colore) sono 48, e corrispondono ai 48 elementi del gruppo di simmetria del cubo.

Un altro elemento che può rendere davvero bello un problema è il fatto che da esso scaturisca qualcosa di inatteso e sorprendente.

Possono essere sorprendenti problemi che hanno soluzioni estremamente grandi, oppure estremamente piccole.
Ma possono essere spiazzanti, e quindi utili a far diventare un problema memorabile, anche soluzioni estremamente semplici, soprattutto quando soddisfano un problema che sembrava essere particolarmente complicato.

Possono essere sorprendenti problemi che paiono andare “contro il senso comune”; ad esempio il problema I due innamorati, come molti altri problemi legati alla probabilità, induce spesso a dare risposte istintive che si rivelano inaspettatamente sbagliate; lo sconcerto che si prova quando si capisce dove sta l’errore è assolutamente produttivo!

Ancora: la sorpresa può nascere, come nel problema Tre indirizzi, dal fatto che ad una prima lettura sembra certamente impossibile determinare la soluzione a partire dai pochissimi dati esplicitati (mentre si scopre poi, ad una lettura più attenta, che il testo contiene informazioni significative ed indispensabili, anche se non numeriche).

E infine, ad essere soprendente può essere il legame, inatteso, tra due problemi apparentemente lontani. La riflessione a posteriori sui problemi può proprio essere utile anche da questo punto di vista: è bello quando si scopre che si sta parlando di cose che sembrano molto diverse, ma sotto le quali ci sta la stessa “legge”, lo stesso “scheletro matematico”.

Note

[1] A proposito di questo e altri stereotipi, riassume bene Rosetta Zan in I problemi di matematica. Difficoltà di comprensione e formulazione del testo (Carocci Faber, 2017):

Se le scelte dell’autore [del testo di un problema] determinano la struttura matematica del problema e la sua formulazione, ancora più importante è il ruolo dell’insegnante nella scelta dei problemi da presentare in classe e delle modalità con cui utilizzarli. Infatti, se l’insegnante propone solo problemi con gli stereotipi descritti sopra, senza metterne in discussione la struttura, l’allievo si convincerà che in ogni problema i dati elencati nel testo sono tutti e soli quelli necessari per la soluzione, che ogni problema ha una e una sola soluzione, che il risultato di ogni problema deve essere un numero “semplice”, che tale numero si ottiene sempre applicando ai dati numerici una o più delle quattro operazioni aritmetiche. Nel caso delle prime classi della scuola primaria, il fatto che molti problemi si risolvono con una sola operazione favorirà la convinzione che risolvere un problema di matematica consiste nello scegliere fra le quattro operazioni aritmetiche quella “giusta” con cui combinare i dati presenti nel testo. […] Ed è con questa immagine che l’allievo affronterà i problemi di matematica in classe.