Lui abita a Roma, Lei a Milano.
Lui ama Lei con profondo trasporto.
Anche Lei ama Lui, ma, ultimamente, in modo decisamente meno lineare e più contraddittorio.
Ogni fine-settimana, per incontrarsi, una volta Lui va a Milano, l’altra Lei va (dovrebbe andare) a Roma. Diciamo “dovrebbe”, perché, in realtà, ogni volta che a muoversi dovrebbe essere Lei sorge qualche difficoltà…
Questo fine-settimana, ad esempio, toccherebbe a Lei di muoversi; ma Lei ha comunicato a Lui che farà scegliere alla sorte…
Lancerà una moneta e un dado: se viene testa partirà, e, a seconda del numero uscito nel lancio del dado, prenderà il primo aereo, il secondo, eccetera, dei 6 aerei che collegano Milano a Roma; se viene croce non partirà comunque, qualsiasi sia il risultato venuto nel lancio del dado!
Lui si è recato di buonora all’aeroporto e ha visto arrivare (invano!) i primi 5 aerei da Milano; lo lasciamo lì che attende, un po’ nervoso, il sesto e ultimo aereo.
Ci chiediamo: qual è la probabilità che Lei arrivi con il sesto aereo?
Soluzione
La probabilità che Lei arrivi con il sesto aereo è 1/7.
Commenti
Riteniamo che questo sia un problema bello perché:
- favorisce lo sviluppo di una discussione,
- non ha bisogno di un apparato di nozioni “pesante”,
- non è emotivamente “neutro” (e quindi si presta a diventare un “problema memorabile”).
Si tratta dunque di un problema che ha le caratteristiche necessarie per appassionare gli alunni e rappresenta bene il fatto che la probabilità sia un terreno privilegiato per una didattica contestualizzata e coinvolgente.
Mettiamo in guardia i docenti sul fatto che il problema, nonostante la sua semplicità (come si diceva, non necessita strumenti particolari), non sia un problema facile: non è per niente facile “mettere in ordine” le informazioni a disposizione e capire come usarle per rispondere al quesito. Non è il caso quindi di stupirsi troppo, e neanche di dispiacersi troppo, se in una classe succede che tutti i ragazzini diano risposte non corrette; e, tuttavia, riteniamo che possa essere utile per loro confrontarsi con un problema che richiede un modo di ragionare a cui sono probabilmente poco abituati.
Le risposte in genere più gettonate sono le due risposte sbagliate che commentiamo qui di seguito.
Prima soluzione errata (“Bado al sodo, io”)
È facile essere indotti a pensare che la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è del 50%. Il ragionamento (fallace) che può portare i ragazzi a questa conclusione è chiaro: c’è probabilità del 50% che sia uscita testa e del 50% che sia uscita croce. Se è uscita testa, visto che Lei non è partita con i primi 5 aerei, sicuramente sarà sul sesto. Quindi, a questo punto, la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è 1/2, cioè il 50%.
Seconda soluzione errata (“Sono un tipo preciso, io”)
Un altro ragionamento fallace è quello che può condurre i ragazzi a pensare che la probabilità che Lei sia sul sesto aereo sia 1/12: la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è 1/6 (perché poteva partire con uno dei 6 aerei), ma in realtà si tratta di 1/6 del 50% (perché in realtà poteva partire o non partire). Ma 1/6 di 1/2 è 1/12. Quindi la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è 1/12, cioè circa l’8%.
Soluzione corretta
La probabilità che Lei arrivi con il sesto aereo è 1/7, cioè circa il 14%, come evidenziato dalla seguente tabella, che mostra come i casi possibili “rimasti” siano sette e di questi soltanto uno sia un caso favorevole:
| T6 | |||||
| C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 |
Problemi collegati
Un problema di probabilità che, come questo, si presta ad essere discusso a gruppi (visto che la risposta che di primo acchito viene data con maggior frequenza non è corretta) è il problema Le due automobili.
Non mi torna. Quando lui aspetta il volo n 6, lei potrebbe aver avuto croce, al lancio moneta, ergo non arriverà nemmeno con l’ultimo volo; oppure testa, e allora arriverà senz’altro. Mi pare che la probabilità, dal lato di lui, sia 1/2, le altre 5 possibiltà sono escluse dal fatto che fino al volo 5 non è arrivata. O no?
Buongiorno, Francesca!
È vero, siamo tentati di dire che le alternative sono due: Lei arriva o Lei non arriva, e quindi che la probabilità sia del 50%.
Però, concludere che la probabilità è del 50% quando le alternative sono due significa dare per scontato che le due alternative sono ugualmente probabili e questo non è detto (e, nel nostro caso in particolare, non è vero). Sarebbe vero, sempre nel nostro caso particolare, se noi sapessimo che nel lancio del dado è uscito il 6: allora sì, le due alternative sarebbero ugualmente probabili. Ma noi non lo sappiamo: quindi il povero Lui si deve accontentare di una probabilità di 1/7.