Il fregio di Halloween

Le maestre hanno deciso di decorare la scuola primaria di Tuttinfesta, in occasione della festa di Halloween, con un unico lunghissimo fregio che corre sulle pareti dei corridoi e delle aule.

Fregio formato da un modulo di 9 figure che si ripetono con regolarità

Il blocco dei primi nove disegni di questa decorazione

Modulo di 9 disegni: 3 ragnatele, due zucche e quattro fantasmi

si ripete in modo regolare, come potete vedere nella prima figura qui sopra, e continua così, sempre allo stesso modo. La decorazione inizia a fianco dell’ingresso e prosegue poi lungo tutti i muri dell’edificio; in tutto ci stanno esattamente 8995 disegni.

A ogni disegno è associato un numero cominciando dalle tre ragnatele come si vede nel disegno qui sotto.

Fregio formato da un modulo di 9 figure che si ripetono con regolarità; ad ogni disegno è associato un numero naturale. Problema sul resto della divisione tra numeri naturali.

Vi domandiamo:

  1. Il 30-esimo disegno è una ragnatela, una zucca o un fantasma?
  2. Il 36-esimo disegno è una ragnatela, una zucca o un fantasma?
  3. Il 49-esimo disegno è una ragnatela, una zucca o un fantasma?
  4. E il 134-esimo disegno che cos’è?
  5. E il 455-esimo disegno?
  6. E il 911-esimo?
  7. E il 5428-esimo?
  8. Sapreste indicare un numero maggiore di 6000 di cui siete sicuri che corrisponda al disegno di una zucca?
  9. Immaginate di avere a disposizione una macchina che fa i conti per voi; è una macchina, quindi è un po’ “stupida”: non può capire il testo del problema come potete capirlo voi né prendere iniziative come potete prenderle voi, può soltanto eseguire le vostre istruzioni alla lettera. Ogni volta che dite un numero tra 1 e 8995, essa, seguendo le vostre istruzioni, deve rispondervi “ragnatela”, “zucca” o “fantasma”, a seconda di qual è il disegno corrispondente a quella posizione. Quali istruzioni le potreste dare?

Soluzione

Si tratta di fare una divisione (per 9, che è la lunghezza del più breve modulo che si ripete sempre uguale a sé stesso) e considerarne il resto: si ottiene una ragnatela se il resto è 1, oppure 2, oppure 3; si ottiene una zucca se il resto è 4 oppure 5; si ottiene un fantasma se il resto è 6, oppure 7, oppure 8, oppure 0.
In particolare:

  1.  al 30-esimo posto c’è una ragnatela, perché 30=9×3+3;
  2.  al 36-esimo posto c’è un fantasma, perché 36=9×4+0;
  3. al 49-esimo posto c’è una zucca, perché 49=9×5+4;
  4. al 134-esimo posto c’è un fantasma, perché 134=9×14+8;
  5. al 455-esimo posto c’è una zucca, perché 455=9×50+5;
  6. al 911-esimo posto c’è una ragnatela, perché 911=9×101+2;
  7. al 5428-esimo posto c’è una ragnatela, perché 5428=9×603+1;
  8. vanno bene tutti i numeri maggiori di 6000 che divisi per 9 danno come resto 4 oppure 5; quindi ad esempio 6007, 6008, 6304, 7205, 7295, 8194…
  9. La risposta a questa domanda, che è sostanzialmente data dalle prime 4 righe di questo paragrafo, si può esprimere in tantissimi modi diversi, tutti altrettanto corretti, alcuni dei quali abbiamo descritto nei Commenti raggiungibili cliccando sul tasto “Mostra tutto”.

Commenti

Le prime sette domande sono simili: per rispondere a ciascuna di esse occorre fare una divisione e rendersi conto che, di questa divisione, non ci interessa il quoziente, ma serve soltanto il resto; il resto della divisione è in effetti il nucleo fondamentale intorno a cui ruota il problema e ne parleremo più diffusamente nel paragrafo seguente.
Sette domande dello stesso tipo sono effettivamente tante, ma dietro questa scelta c’è un motivo ben preciso: se, per rispondere alle prime, con numeri “piccoli”, possono bastare strategie molto “concrete”, man mano che i numeri si fanno più grandi gli alunni sentiranno la necessità di trovare strategie più “astratte”. In altre parole le domande con numeri grandi servono per mettere gli alunni nella situazione di dover passare dal disegnare ragnatele, zucche e fantasmi al fare un ragionamento.

L’ottava domanda ha l’obiettivo di testare se i ragazzi hanno interiorizzato il meccanismo sottostante il problema; spesso chiedere un esempio è una maniera per verificare la comprensione, un pochino più “leggera” rispetto alla richiesta di un’argomentazione.

L’ultima domanda ha un duplice scopo.
Da un lato, come avviene in molti altri Problemi per matematici in erba, stimola i ragazzi a “dire bene” la strategia che hanno individuato. Si chiede, cioè, che gli alunni non si limitino a fare dei calcoli, ma riescano anche a raccontare a qualcun altro che cosa stanno facendo, a far capire a chi non era presente alle loro discussioni come fare per risolvere lo stesso problema.
Il fatto poi che la domanda faccia riferimento ad una “macchina” vorrebbe indirizzare i ragazzi verso il tradurre il procedimento seguito in una sequenza di istruzioni precise, non ambigue e strutturate: istruzioni che prese singolarmente siano assolutamente semplici, ma che, tutte insieme, consentano di risolvere il problema nella sua complessità. È questo un modo per avviare gli alunni al pensiero computazionale, la padronanza del quale può (come si legge nel documento “Indicazioni nazionali e nuovi scenari” pubblicato dal MIUR nel 2018)

aiutare le persone a governare le macchine e a comprenderne meglio il funzionamento, senza esserne invece dominati e asserviti in modo acritico.

Un problema significativo

Nell’insieme dei numeri naturali, la divisione associa ad ogni coppia di numeri a e b (con b diverso da 0) i due numeri q (il quoziente) e r (il resto) tali che

  • a=bxq+r
  • 0 ≤ r < b.

Il fatto che gli alunni, al termine della scuola primaria, sappiano usare un algoritmo con cui trovano (per esempio) che la divisione di 58 per 7 dà quoziente 8 e resto 2 corrisponde proprio a trovare due numeri (il quoziente q=8 e il resto r=2)  tali che 58=7×8+2 e 0 ≤ r < 7.

Osserviamo per inciso che la prima condizione da sola non basterebbe perché ci sono tanti modi di scrivere 58 come somma di un multiplo di 7 e di un altro numero, per esempio:
58 = 7×7 + 9
58 = 7×4 + 30 …
Per individuare univocamente quoziente e resto è necessario richiedere che il resto sia positivo e strettamente minore di 7.

Spesso il successivo incontro dei ragazzi con la divisione nell’insieme dei numeri razionali confonde un po’ le cose. Nei numeri razionali, giustamente, non si parla più di resto. L’output della divisione tra due numeri razionali (purché il secondo sia diverso da 0) è solo uno (il loro quoziente) e può essere espresso come frazione o come numero decimale.
Quando si cerca di esprimerlo come numero decimale, può succedere che il quoziente abbia “troppe” cifre decimali rispetto a quelle che risultano essere interessanti o che risulta possibile gestire senza eccessivo sforzo (e quante cifre siano “troppe” dipende da qual è il nostro interesse e da qual è lo sforzo che siamo disposti a fare). Accade così che, spesso, il risultato di una divisione, espresso come numero decimale venga approssimato: al posto del risultato esatto, cioè, si scrive un numero con una quantità di cifre decimali decisa a priori, che sia il più vicino possibile al risultato esatto.

Fin qui tutto bene. La “confusione” di cui si diceva prima sta nel fatto che a un certo punto molti alunni, a furia di fare divisioni tra numeri razionali, dimenticano che nei numeri naturali la divisione ha un altro significato e la interpretano come una divisione approssimata (tra numeri razionali). Forse anche perché al resto non è stata data troppa importanza e lo si è sempre interpretato come qualcosa che “resta”, quacosa che “avanza” e che quindi serve a poco, quando ritrovano una divisione in N si dimenticano completamente del resto e trattano il quoziente come un numero razionale approssimato alle unità. Proprio da questo fraintendimento nasce l’esigenza di costruire problemi ad hoc per far scontrare i ragazzi con situazioni significative attraverso le quali possano “ri-scoprire”, in particolare, il ruolo del resto.

Metacognizione

Come altri dei Problemi per matematici in erba (ad esempio Furbetti in coda), “Il fregio di Halloween” fornisce agli alunni una preziosa occasione per accorgersi del fatto che l’ambiente numerico dentro il quale si agisce può cambiare radicalmente il comportamento dei numeri e quindi, di conseguenza, i procedimenti che dobbiamo mettere in atto per risolvere un dato problema.

Questa riflessione va ben oltre il problema contingente: tornerà utile per cogliere le differenze, oltre che tra la divisione in Z e in Q, anche tra la sottrazione in N e in Z, o tra l’estrazione di radice quadrata in Q e in R…

Un problema memorabile

Questo problema prende spunto da altri, pubblicati negli anni passati nel sito di Quaderno a Quadretti. Là si parlava di fregi usati per decorare i corridoi di una metropolitana o l’atrio di un castello, piuttosto che di incisioni rupestri ritrovate in una grotta o di ricami su un tappeto da corridoio, ma la struttura matematica cui il problema fa riferimento è sempre la stessa.

La scelta che qui abbiamo fatto (una decorazione in occasione di Halloween) è semplicemente dovuta al periodo in cui, negli ultimi anni, abbiamo proposto questo problema in alcune classi prime e al desiderio di trovare una ambientazione che, per quelle classi, in quel periodo dell’anno, fosse coinvolgente.

Va da sè che ogni insegnante, a seconda della classe che ha, del luogo in cui insegna e (perché no?) del momento dell’anno in cui proporrà questo problema, potrà adattarne il testo, in modo che anche questa scelta contribuisca a renderlo un problema memorabile.

Un percorso a ritroso

L’ottava domanda va, in un certo senso, a ritroso rispetto a quelle che la precedono: nelle domande dalla 1 alla 7 viene dato un numero e si chiede qual è il disegno corrispondente, mentre in questa si chiede ai ragazzi di fare l’esempio di un numero che corrisponde a un disegno dato.

Chiedere  agli alunni di fabbricare esempi è un buon modo per verificare se hanno davvero capito il cuore del problema, anche se magari non sanno scrivere il loro ragionamento usando un linguaggio chiaro e inequivocabile.

Strategie risolutive diverse

Le strategie attraverso le quali abbiamo visto i ragazzi approcciare questo problema sono molteplici e, probabilmente, emergeranno nella loro varietà in tutte le classi: sarà molto interessante, nel momento finale in cui l’insegnante deve “tirare le fila” del lavoro svolto dai ragazzi, far loro notare che cosa le rende diverse e che cosa invece le accomuna.

Per rispondere alle prime tre domande (o ad altre analoghe, riferite a numeri sufficientemente piccoli) c’è chi prosegue la decorazione: disegna altre ragnatele, altre zucche e altri fantasmi fino ad arrivare al numero complessivo di disegni richiesto.

C’è chi intuisce di poter risparmiare tempo scrivendo “R” invece di disegnare una ragnatela, scrivendo “Z” al posto di disegnare una zucca e scrivendo “F” al posto di disegnare un fantasma, ma comunque va avanti a scrivere RRRZZFFFF fino a che arriva al numero in corrispondenza del quale deve scoprire che disegno c’è.  Nonostante il risparmio di tempo, anche questa strategia, che funziona benissimo per rispondere alle prime domande, vacilla non poco quando i numeri si fanno più grandi.

Ci sono ragazzi che comunque “contano partendo da 1”, ma arrivati a 9 (il numero di disegni che costituiscono il blocco) continuano con il 10 ricominciando a puntare il dito sul primo disegno della medesima immagine: in questo modo riescono a rispondere alle prime tre domande in modo ancora più veloce, perché non devono “perdere tempo” a disegnare o a scrivere altro.

A partire dalla quarta domanda (o per rispondere ad altre analoghe, che chiedono quale disegno corrisponde a numeri più alti grandi), chi ha disegnato ancora un po’ di ragnatele, zucche e fantasmi si accorge di aver bisogno di altre strategie: al di là del tempo che ci vuole per fare i disegni o scrivere le iniziali, contare fino a 911 è noioso, e il rischio di perdere il conto è alto. Qualcuno potrebbe sentirsi in difficoltà, ma sicuramente ci saranno alunni che sapranno “andare oltre”.

Alcuni ragazzi si concentrano sul modulo di 9 disegni che si ripetono con regolarità e “contano” numerando per 9 (quello che dicono è “nove, diciotto, ventisette, trentasei, quarantacinque…” e quello che fanno è tenere il dito puntato sull’ultimo fantasma) fino a che arrivano abbastanza vicini al numero in corrispondenza del quale devono trovare che disegno c’è. Poi vanno avanti contando e spostando il dito di disegno in disegno, fino a che arrivano al numero cercato.

Altri ragazzi cercano multipli di 9 “vicini” al numero in questione senza aver bisogno di numerare, e poi contano. Così, per il 911: considerato che 900 è un multiplo di 9, il 901 sarà la prima ragnatela e il 911 sarà in corrispondenza dello stesso disegno che accompagna il numero 11, ossia una ragnatela.
Analogamente, per il 455: considerato che 450 è un multiplo di 9, 451 sarà la prima ragnatela e 455 sarà in corrispondenza dello stesso disegno che accompagna il numero 5, ossia una zucca.
Così facendo, usano, sia pure inconsapevolmente, la congruenza modulo 9: il numero 911 è congruo a 11 modulo 9 (ovvero: differisce da 11 per un multiplo di 9) e, ai fini del problema che stiamo cercando di risolvere, due numeri congrui modulo 9 si comportano allo stesso modo.  E 455 è congruo a 5 modulo 9.

Tutte queste modalità sono preziose: anche se i ragazzi non ne sono consapevoli, esse equivalgono proprio a trovare il resto in una divisione; in effetti “Il fregio di Halloween” fornisce l’esempio di una situazione in cui l’elemento significativo è il resto (ed è del tutto inutile trovare il quoziente), quindi forza i ragazzi a riflettere sul senso della divisione tra numeri naturali, e sul significato di quoziente e resto.

Se gli alunni conoscono il “criterio di divisibilità per 9” (ossia se sanno che i numeri naturali divisibili per 9 sono tutti e soli i numeri la somma delle cui cifre è a sua volta divisibile per 9) possono utilizzare anche un’altra strategia per rispondere alle domande del problema “Il fregio di Halloween”.
Sommando le cifre che compongono un numero, si può ottenere un numero ad una cifra o a più cifre. Se si ottiene un numero a più cifre, si può procedere sommandole di nuovo, fino a che si otterrà un numero di una sola cifra.
Se questa cifra è 9, il numero iniziale è un multiplo di 9 e quindi corrisponderà ad un fantasma.
Se il numero ad una cifra che si ottiene è 1 (oppure 2, oppure 3) il numero iniziale, diviso per 9, dà resto 1 (oppure 2, oppure 3) e quindi corrisponderà ad una ragnatela.
Se il numero ad una cifra che si ottiene è 4 (oppure 5), il numero iniziale, diviso per 9, dà resto 4 (oppure 5) e quindi corrisponderà a una zucca.
Se il numero ad una cifra che si ottiene è 6 (oppure 7, oppure 8) il numero iniziale, diviso per 9, dà resto 6 (oppure 7, oppure 8) e quindi corrisponderà ad un fantasma.

Per inciso, la somma delle cifre di un numero n, iterata fino ad ottenere un numero di una sola cifra, non è altro che il resto della divisione di n per 9 (con l’eccezione di quando si ottenga 9, che corrisponde al resto 0).

Un problema aperto

“Il fregio di Halloween” è un problema che si presta ad essere variato in molteplici direzioni, che possono essere imboccate  o per soddisfare la curiosità di qualche alunno, o per volontà dell’insegnante.

Le stesse domande, riferite a fregi diversi

Fregi generati da moduli di lunghezza diversa potrebbero essere proposti dall’insegnante prima o dopo di questo problema, in diversi momenti dell’anno scolastico, magari anche in anni scolastici diversi, anche con la curiosità di vedere che cosa è rimasto del lavoro fatto.

Il fregio generato da un modulo di lunghezza 2

Si tratta di un fregio molto comune in tante decorazioni, la cui analisi è talmente semplice che potrebbe essere un punto di partenza utile per i bambini dei primi anni della scuola primaria, ma con il quale potrebbe essere bello confrontarsi anche per i ragazzi della scuola media.

♣ ♥ ♣ ♥ ♣ ♥ ♣ ♥ ♣ ♥ ♣ ♥ ♣ ♥ …

Alcune osservazioni:

  • in corrispondenza dei numeri dispari c’è un fiore, in corrispondenza dei numeri pari c’è un cuore;
  • il fatto che un numero sia pari o dispari si legge dalla sua cifra delle unità (se è 0, 2, 4, 6 oppure 8 il numero è pari; se è 1, 3, 5, 7, 9 il numero è dispari); quindi alla “macchina” della domanda 8 l’istruzione potrebbe essere data riferendosi proprio a questa cifra;
  • il concetto di pari / dispari si acquisisce probabilmente molto prima del concetto di divisione e resto, proprio perché lo si lega ad una alternanza come quella di questo fregio; per i ragazzini più grandi potrebbe però essere utile analizzare anche questo caso, pur così semplice, per ri-scoprire che i numeri pari sono i multipli di 2 (cioè i numeri che, divisi per 2, danno resto 0) e i numeri dispari sono quelli che, divisi per 2, danno resto 1;
  • una questione interessante potrebbe essere posta nelle classi in cui si siano incontrati altri sistemi di notazione dei numeri oltre a quello posizionale in base 10 (tipicamente spesso si fa l’esempio del sistema romano o del sistema binario): se il numero è scritto in un altro sistema di notazione, come si può fare per stabilire se è pari o dispari e quindi quale disegno gli corrisponde?
Il fregio generato da un modulo di lunghezza 10

Un fregio in cui può essere particolarmente semplice stabilire quale disegno c’è all’n-esimo posto è quello generato da un modulo di lunghezza 10 che si ripete, come ad esempio qui:

A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C …

Alcune osservazioni:

  • il tipo di disegno che si trova in corrispondenza di un numero n dipende dal resto della divisione di n per 10;
  • in questo caso, anche alle domande su quale disegno ci sia in un posto corrispondente ad un numero molto grande si può rispondere senza di fatto eseguire la divisione, semplicemente andando a vedere la cifra delle unità del numero; rifacendosi all’esempio qui sopra, i numeri che terminano con la cifra 1 corrisponderanno sempre alla lettera A, quelli che terminano con la cifra 2 oppure con la cifra 3 corrisponderanno alla lettera B, i numeri che terminano con la cifra 4, oppure 5, oppure 6 corrisponderanno alla lettera C e i numeri che terminano con la cifra 7, oppure 8, oppure 9, opure 0 corrisponderanno alla lettera D;
  • se (come assai probabile) la strada scelta dagli alunni fosse, in prima battuta, quella di guardare l’ultima cifra del numero senza pensare alle divisioni, sarà importante renderli consapevoli del fatto che la cifra delle unità di un numero corrisponde proprio al resto della divisione di quel numero per 10; una domanda rilevante potrebbe essere allora: perché? è una coincidenza? è pura magia o c’è un motivo razionale per cui succede così?
  • come nel caso del fregio formato da due disegni che si alternano, una questione interessante potrebbe essere posta nelle classi in cui si siano incontrati altri sistemi di notazione dei numeri oltre a quello posizionale in base 10: se il numero è scritto (per esempio) in base 2, si può ancora stabilire quale disegno gli corrisponde andando solo a vedere l’ultima delle sue cifre?
Il fregio generato da un modulo di lunghezza 5

Un altro fregio in cui si può stabilire quale disegno c’è all’n-esimo posto guardando l’ultima cifra del numero (scritto in base 10) è quello in cui il modulo che si ripete regolarmente è formato da 5 disegni [1].

♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ …

Alcune osservazioni:

  • in questo caso, rifacendoci all’esempio qui sopra, i numeri che terminano con la cifra 1 o con la cifra 6 corrisponderanno sempre al “seme” delle picche, quelli che terminano con la cifra 2 o con la cifra 7 corrisponderanno ai fiori, quelli che terminano con la cifra 3 o con la cifra 8 ai cuori, quelli che terminano con la cifra 4 o 5 o 9 o 0 ai quadri;
  • come nei casi precedenti, riflettere sul legame che c’è tra l’ultima cifra di un numero e il resto della sua divisione per 5 potrebbe essere molto utile; la discussione, ad esempio, potrebbe partire dal “criterio di divisibilità per 5”, che spesso i ragazzini imparano già alla scuola primaria (magari non chiamandolo in questo modo, ma sicuramente come “trucco” per memorizzare la tabellina del 5).
  • per gli studenti un po’ più “avanti” si può riflettere sul fatto che non è un caso che, visto che il “trucco” dell’ultima cifra funziona per il 10, allora funziona anche per il 2 e per il 5 che, guarda caso, sono proprio i divisori di 10…
Il fregio generato da un modulo di lunghezza 7 o 12

Volendo variare il numero dei disegni presenti nel modulo che si ripete, si può scegliere naturalmente un numero qualsiasi; i casi precedenti (10, 5, 2) portano a situazioni più semplici rispetto al 9; se invece si vuole far discutere ai ragazzi una situazione un po’ più impegnativa, si può partire da un fregio in cui il modulo comprende, per esempio, 7 disegni, oppure 12 [2].

Alcune osservazioni:

  • in questi casi le “scorciatoie” che passano per l’ultima cifra (o per la somma delle cifre) non funzionano più e “tocca” quindi riferirsi proprio al resto della divisione;
  • il caso del modulo di 7 disegni e quello del modulo di 12 si prestano a costruire ponti con altri problemi in cui il ruolo fondamentale è giocato dal resto di una divisione tra numeri naturali: i problemi sul calendario (7 sono i giorni della settimana, 12 sono i mesi dell’anno) o sull’orologio (12 sono anche le ore che compaiono sugli orologi).
Ulteriori domande relative allo stesso fregio

Partendo dalla situazione del fregio che abbiamo descritto, qualunque sia la sua contestualizzazione e qualunque sia la lunghezza del modulo, ci sono altre domande che si potrebbero porre ai ragazzi:

  • Dato il numero totale di disegni di cui il fregio è formato, si può chiedere quanti disegni di ciascun tipo sono presenti in complesso. Questa domanda è interessante se in ogni modulo ci sono più disegni di uno stesso tipo e, ancor più, se l’ultimo modulo che si ripete è incompleto.
    Per rispondere a questa domanda si dovrebbe dividere il numero totale di disegni per il numero di disegni che formano ciascun modulo (ed ecco che qui spunta una domanda dove non ci interessa più soltanto il resto, ma questa volta ci serve anche il quoziente!): il quoziente ci dà il numero di moduli interi presenti nel fregio, mentre il resto ci dice quanti disegni dell’ultimo modulo sono presenti. Per esempio, degli 8995=9×999+4 disegni del fregio di Halloween, le ragnatele sono 3×999+3=3000, le zucche sono 2×999+1=1999 e i fantasmi sono 4×999=3997.
  • Altre domande possono essere del tipo: quale numero corrisponde alla decima ragnatela? quale numero corrisponde alla decima zucca? quale numero corrisponde al 23-esimo fantasma? e così via, con numeri sempre più alti.
    Anche in questo caso, oltre che contando (quando i numeri sono piccoli), si possono trovare le risposte attraverso una divisione.
    Se, per esempio, sto cercando il numero che corrisponde al 23-esimo fantasma, divido 23 per 4 ( il numero di fantasmi presenti in ciascun modulo) e trovo così che per arrivare al 23-esimo fantasma dovrò passare per 5 moduli completi e poi, nel sesto modulo, arrivare al terzo fantasma (23=4×5+3) . Quindi, passerò per 45 simboli (i 5 moduli completi) e poi altri 8, nel sesto modulo, per arrivare dalla prima ragnatela al terzo fantasma: in totale 45+8=53.
  • A partire dall’ultima domanda del problema (quella in cui si chiede di scrivere delle istruzioni che permettano ad una macchina di rispondere alle domande precedenti), può essere interessante chiedersi come si può usare una semplice calcolatrice per determinare il resto di una divisione tra numeri interi. 
    La calcolatrice, infatti, di solito restituisce un quoziente che è l’approssimazione di un numero razionale e spesso i ragazzi sono convinti di non poterla usare per scoprire il quoziente e il resto di una divisione di numeri naturali, quando invece ciò è possibile, con un paio di conti in più. Se, ad esempio, chiediamo ad una calcolatrice quanto fa 5428:9 otterremo una risposta tipo 603,1111111. La parte intera di questo numero, ossia 603, è il quoziente della divisione in N tra 5428 e 9. Per scoprire che il resto di tale divisione è 1, basta sottrarre a 5428 il prodotto tra 9 e 603:
    5428-(9×603)=5428-5427=1.

Scenari possibili

Che questo problema (con i dovuti eventuali adattamenti) possa essere utile per tutte le classi del primo ciclo lo abbiamo sperimentato con i nostri alunni e con le classi che hanno partecipato ai Giochi di Quaderno a Quadretti.

Se per gli alunni più piccoli “Il fregio di Halloween” può aiutare ad introdurre la divisione in un modo che dia al resto almeno tanta importanza quanta ne ha il quoziente, per gli alunni più grandi (anche per quelli della prima classe della scuola superiore) può invece costituire una occasione per tornare a riflettere sul significato della divisione nell’insieme dei numeri naturali.

Note

[1]
Tra gli allegati a questo articolo vi è anche il testo del problema “Il fregio di Halloween” riferito ad un fregio in cui il modulo che si ripete ha lunghezza 5. Ecco le risposte alle domande contenute in quel testo:

  1.  al 30-esimo posto c’è un fantasma, perché 30=5×6+0;
  2.  al 36-esimo posto c’è una ragnatela, perché 36=5×7+1;
  3. al 49-esimo posto c’è un fantasma, perché 49=5×9+4;
  4. al 133-esimo posto c’è una zucca, perché 133=5×26+3;
  5. al 457-esimo posto c’è una zucca, perché 457=5×91+2;
  6. al 911-esimo posto c’è una ragnatela, perché 911=5×182+1;
  7. al 5428-esimo posto c’è una ragnatela, perché 5428=5×1085+3;
  8. vanno bene tutti i numeri maggiori di 6000 che divisi per 5 danno come resto 2 oppure 3; quindi ad esempio 6002, 6003, 7207, 7298, …
  9. Si tratta di fare una divisione (per 5, che è la lunghezza del più breve modulo che si ripete sempre uguale a sé stesso) e considerarne il resto: si ottiene una ragnatela se il resto è 1; si ottiene una zucca se il resto è 2 oppure 3; si ottiene un fantasma se il resto è 4, oppure 0.

[2]
Tra gli allegati a questo articolo vi è anche il testo del problema “Il fregio di Halloween” riferito ad un fregio in cui il modulo che si ripete ha lunghezza 7. Ecco le risposte alle domande contenute in quel testo:

  1.  al 30-esimo posto c’è una zucca, perché 30=7×4+2;
  2.  al 38-esimo posto c’è una zucca, perché 38=7×5+3;
  3. al 49-esimo posto c’è un fantasma, perché 49=7×7+0;
  4. al 134-esimo posto c’è una ragnatela, perché 134=7×19+1;
  5. al 459-esimo posto c’è un fantasma, perché 459=7×65+4;
  6. al 915-esimo posto c’è un fantasma, perché 915=7×130+5;
  7. al 5431-esimo posto c’è un fantasma, perché 5431=7×775+6;
  8. vanno bene tutti i numeri maggiori di 6000 che divisi per 7 danno come resto 2 oppure 3; quindi ad esempio 6302, 6303, 6309, 6310, 7002, 7003, …
  9. Si tratta di fare una divisione (per 7, che è la lunghezza del più breve modulo che si ripete sempre uguale a sé stesso) e considerarne il resto: si ottiene una ragnatela se il resto è 1; si ottiene una zucca se il resto è 2 oppure 3; si ottiene un fantasma se il resto è 4, oppure 5, oppure 6, oppure 0.

Problema tratto da…

Per “Il fregio di Halloween” abbiamo preso spunto da alcuni problemi pubblicati nei giochi del sito Quaderno a Quadretti, diversi per il contesto narrativo nel quale sono inseriti e per la classe alla quale sono stati proposti:

  • nella terza tappa dei giochi del 2004 si trovano cinque testi per le cinque classi della scuola primaria e un unico testo per le tre classi della scuola secondaria di primo grado;
  • la quarta tappa dei giochi del 2006 fornisce il problema Incisioni animalesche per le tre classi della scuola secondaria di primo grado;
  • nella quarta tappa dei giochi del 2008 si trovano addirittura quindici testi per la scuola primaria (per ciascuna classe, lo stesso problema è scritto con tre ambientazioni diverse);
  • nella terza tappa dello stesso anno si trovano tre testi per le tre classi della scuola secondaria di primo grado.

Allegati

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