Sul quotidiano inglese The Guardian, il 30 dicembre 2019 Alex Bellos ha proposto un gioco matematico (in realtà più di uno), come fa tutti i lunedì nella rubrica chiamata, appunto, Alex Bellos’Monday puzzles.
L’ultimo rompicapo del 2019 si intitolava 2020 in numbers.
Vi proponiamo, liberamente tradotti, due dei quesiti in esso contenuti, che speriamo vi appassionino come hanno appassionato i lettori di The Guardian!
Riempite gli spazi lasciati vuoti nella seguente uguaglianza, in modo tale da renderla vera:
- 2020 = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Nell’espressione a destra potete inserire, tra un numero e l’altro, i segni delle quattro operazioni fondamentali: +, –, ×, ÷, e tutte le parentesi che volete. Per capirci, una risposta potrebbe assomigliare a una scrittura così:
2020=(10–9+8)×(7–6–5)÷(4+3+2+1),
anche se è chiaro che questa non va bene perché le due quantità a destra e a sinistra del segno “=” non sono affatto uguali. - Qui sotto abbiamo scritto il numero 2020 usando numeri in cui compare solo la cifra 9:
2020=(9+9)×(99÷9+999)÷9
Sareste capaci di scrivere il numero 2020 usando numeri in cui compare solo la cifra 1? O usando numeri in cui compare solo la cifra 2? O in cui compare solo una delle altre cifre (escluso lo zero, naturalmente)?
Per limitare il campo, ci diamo queste regole: ogni cifra non può essere usata più di 10 volte; si possono usare le quattro operazioni fondamentali (+, –, ×, ÷); si possono usare le potenze (ad esempio 22 o 333); si possono inserire tutte le parentesi che si vuole.
Soluzione
Alcune tra le possibili soluzioni al primo quesito sono:
- 2020 = ((10×9×8×7×6)÷5+4×3)÷(2+1)
- 2020 = 10×9×8+(7+6)×5×4×(3+2)×1
- 2020 = (10×9×8-(7×6)-5)×(4-3+2)+1
- 2020 = 10×((9+8)×7-(6+5+4+3))×2×1
Alcune tra le possibili soluzioni al secondo quesito sono:
- 2020 = (1+1)×(11111−1)/11
- 2020 = (22-2)*2222÷22
2020 = 2×(2×(222+22)−2)
2020 = 2222-222+22-2 - 2020 = 3+(3+3)×(333+3)+3÷3
- 2020 = (4+4×4)×4444÷44
2020 = 4+(4+4)×(44−4) - 2020 =5×(5×5-5)×(5×5-5)+5×5-5
2020 = 55+55×(5−5×5)−5 - 2020 = (6−6÷6)×((6+6)÷6+6×66+6)
- 2020 = 77÷7+7×(7×(7×7−7)−7)
- 2020 = (8×(8×8×8−8)+8)×8÷(8+8)
- 2020=(9+99÷9)×(99+(9+9)÷9)
Commenti
Il fatto che i quesiti proposti all’interno di questo problema siano stati pubblicati su The Guardian a ridosso del capodanno del 2020 non è una finzione narrativa (basta seguire i link inseriti nel testo del problema per verificarlo).
Dal punto di vista matematico si tratta di informazioni ininfluenti, che pensiamo però possano suscitare interesse nei ragazzi e alzare il livello della loro motivazione. È chiaro che ciascun insegnante potrà trovare pretesti diversi per assegnare un problema simile a questo, in modo da creare un po’ di curiosità attorno alle richieste fatte, a seconda di quando e a quali ragazzi proporrà i quesiti.
Un problema significativo
L’uguaglianza
Ad essere significativo in questo problema non è il numero 2020 né il tipo di vincoli che vengono dati (rispetto a quali operazioni sono consentite, in che ordine usare i numeri o quante volte può essere utilizzata una data cifra): tutte queste richieste possono essere tranquillamente modificate, a patto che prima di iniziare siano chiare a tutti le “regole del gioco” a cui si fa riferimento.
Ciò che rende interessante “2020 in numeri” è il cambio di prospettiva che chiede agli alunni di effettuare, rispetto all’uguaglianza.
Moltissime sono le occasioni in cui bambini e ragazzi trovano scritto il segno di uguaglianza al termine di una espressione, come se fosse un comando, come se il significato del segno “=” fosse qualcosa del tipo: “Esegui i calcoli che ti ho detto!”. Succede nei primi anni di scuola con le espressioni numeriche, e continua poi con le frazioni o i numeri decimali, o le espressioni letterali.
Questo modo di utilizzare il segno “=” (alla pari del tasto “enter” o “invio” del computer, o del tasto “=” della calcolatrice) fa perdere di vista il fatto che l’uguaglianza è, innanzitutto, una relazione tra due oggetti (numeri interi, frazioni, espressioni letterali negli esempi qui sopra; ma molte altre situazioni possiamo immaginare); e, inoltre, è una relazione con delle proprietà particolari (una relazione di equivalenza).
Nelle pagine della sezione Quasi un libro dedicate all’uguaglianza (di prossima pubblicazione) sarà presto possibile, per chi è interessato, approfondire questo tema. Per il momento qui ci pare importante sottolineare come “2020 in numeri” e problemi analoghi possano aiutare a scardinare la misconcezione (“=” significa “calcola” e non rappresenta una relazione di equivalenza) a seguito della quale gli alunni arrivano, per esempio:
- a scrivere catene di uguaglianze (errate!) come 3×9=27+5=32 (dove il segno “=” la prima volta significa “adesso calcolo quanto fa 3×9” e la seconda volta significa “adesso calcolo quanto fa 27+5”);
- a dover imparare a memoria la formula per la fattorizzazione della differenza di quadrati (per fare un esempio tra i tanti)
(a2-b2)=(a+b)×(a-b)
anche dopo aver già imparato a memoria il prodotto notevole
(a+b)×(a-b)=(a2-b2); - a non accorgersi che, quando, nel cercare le soluzioni di un’equazione, sono arrivati alla scrittura
3=x
hanno finito; mentre spesso si sentono costretti a fare ancora qualche passaggio, per esempio
0=x-3
0-x=-3
-x=-3
per arrivare finalmente a
x=3.
I conti
Questo problema può essere utile (in particolare se proposto senza mettere a disposizione dei ragazzi calcolatrici o strumenti analoghi) anche come occasione per prendere (o ri-prendere) dimestichezza con i calcoli.
Piace anche a noi la “definizione” della matematica come “Scienza che insegna a non fare i conti” attribuita da molti a Oscar Chisini. Ci pare però che qui il “non fare i conti” non significhi “non saper fare i conti”, o “non ricordarsi gli algoritmi di calcolo”, bensì il saper usare i numeri in maniera flessibile e che si basi sulla comprensione delle quantità che essi indicano e del significato delle operazioni, più che sulla ripetizione di alcune istruzioni.
Ecco allora che “2020 in numeri” e problemi analoghi possono offrire l’occasione per combattere quello che potremmo chiamare “analfabetismo numerico di ritorno”!
Metacognizione
Le riflessioni sull’uguaglianza che, a partire da questo problema, docente e alunni possono condividere sono certamente un insegnamento che può tornare utile in moltissime altre situazioni.
Anzi: il fatto di scrivere 2020 in un certo modo, di fatto, è più che altro un pretesto per far emergere queste riflessioni, con la speranza che gli alunni ne facciano tesoro per tutte le volte in cui si troveranno ad avere a che fare con uguaglianze, equazioni, equivalenze…
Un problema memorabile
Il fatto di prendere un problema da un quotidiano e di ancorarlo ad una situazione contingente (l’anno nuovo, una data particolare, qualche evento…) sono tutti espedienti utili a rendere il problema memorabile.
Proprio per la loro contingenza sono elementi che potranno essere modificati da ciascun insegnante a seconda dell’occasione che vorrà utilizzare per suscitare la curiosità dei propri alunni.
Un problema difficile
“2020 in numeri” è uno di quei problemi che non dovrebbero essere troppo complicati da capire (anche perché le richieste fatte sono corredate da esempi), ma per i quali potrebbe essere molto difficile trovare una soluzione (anche se, una volta trovata una certa uguaglianza, è di nuovo estremamente semplice verificarne la correttezza).
Una buona confidenza con i numeri (come quella che dovrebbero avere i ragazzi della scuola secondaria) potrebbe facilitare le cose (ad esempio: accorgersi che 2020=22×5×101 può fornire un punto di partenza); ma a volte – paradossalmente – sono proprio i bambini ad essere facilitati, perché hanno fiducia nel fatto di poter procedere per tentativi. Sta di fatto che probabilmente anche molti adulti potrebbero non riuscire a trovare una soluzione!
Dal punto di vista della significatività del problema, il fatto che eventualmente nessun gruppo arrivi ad una soluzione esatta non è assolutamente un guaio: se gli alunni avranno lavorato in cerca di un modo per completare le uguaglianze proposte in bozza, avranno comunque raggiunto lo scopo voluto, perché avranno fatto un po’ di conti e preso quindi un po’ più di confidenza con i numeri e con i calcoli e inoltre avranno riflettuto sul significato del segno “=” e saranno entrati in contatto con una situazione che, insieme ad altre, potrà aiutarli a capire che cosa sia l’uguaglianza in matematica.
Qualora nessun gruppo arrivi ad una soluzione e qualora questo costituisse una situazione che l’insegnante ritiene troppo frustrante per i suoi ragazzi, è possibile “allentare” un poco i vincoli del problema per renderlo più alla loro portata. Ad esempio:
- Si può consentire anche nel primo quesito che le cifre vengano accostate per formare numeri di due cifre.
- Si può consentire di usare i numeri del primo quesito in un ordine diverso (si perde l’idea del “conto alla rovescia” prima del brindisi, ma si può fare!).
- Si può consentire, nel secondo quesito, di usare la cifra considerata un maggior numero di volte (mettendo comunque un limite).
- Si può decidere di proporre il problema come una gara tra i gruppi, assegnando un premio diverso ad ogni gruppo: il premio più “importante” sarà dato a chi si avvicina di più a 2020, anche se non ottiene esattamente quel numero, e poi via via gli altri premi saranno assegnati a scalare.
Scenari possibili
Le classi di scuola secondaria di primo grado in cui lo abbiamo proposto si sono lasciate incuriosire da questo problema e tutti i gruppi si sono messi al lavoro con attenzione, anche se non tutti i gruppi hanno trovato una soluzione.
Di per sé “2020 in numeri” non richiede particolari conoscenze e potrebbe quindi essere assegnato anche ad alunni della scuola primaria, magari allentando fin da subito i vincoli posti nei quesiti.
Non è detto che per ragazzi più grandi il problema sia banale: anche per loro si potrebbero aumentare le possibilità di riuscita ampliando il panorama delle operazioni consentite (introducendo per esempio le radici, o il fattoriale…).
Problema tratto da…
I quesiti proposti in questo articolo sono liberamente tratti (per gentile concessione di Guardian News & Media Ltd) dall’articolo 2020 in numbers apparso su The Guardian, il 30 dicembre 2019 a firma di Alex Bellos.
