Sulle spalle di giganti (e non solo)

In questa pagina abbiamo raccolto alcune “citazioni”: frasi più o meno celebri, dette o scritte da persone che a diverso titolo e in diversi momenti storici hanno dato un contributo forte alla matematica e alla sua didattica.

Il criterio con cui abbiamo avviato questa raccolta (non è la ricerca degli autori, o delle frasi, più “importanti” in relazione alla matematica e al suo insegnamento, ma piuttosto) è quello di prestare una particolare attenzione proprio al concetto di “problema” e all’uso che dei “bei problemi” può (o deve) fare un insegnante di matematica.

Naturalmente questa pagina è ben lungi dall’essere esauriente, anche se, paradossalmente, è molto lunga. Ci proponiamo non solo di proseguire in questa raccolta bibliografica, ma anche di trovare un modo per renderla più fruibile.

Nel frattempo, però, ci piace aprire una finestra su questo vasto mondo per rendere più esplicito il fatto che le convinzioni che abbiamo espresso nella sezione Cosa, come e perché non nascono dal nulla, ma da un lungo lavoro legato alle nostre esperienze e riflessioni, ma prima di noi a quelle di una vasta comunità di matematici.

H.S.M. Coxeter (1907 – 2003)

Citato da Siobhan Roberts in Il re dello spazio infinito. Storia dell’uomo che salvò la geometria, Rizzoli Editore, 2006

La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi.

Maryam Mirzakhani (1977 – 2017)

I problemi di matematica sono come i personaggi dei romanzi. Evolvono e quando li guardi di nuovo non assomigliano più alla tua prima impressione.

Michael Francis Atiyah (1929 – 2019)

Da Siamo tutti matematici, Di Renzo Editore, 2007

Vi chiederete come si possa parlare di divertimento avendo a che fare con i numeri: ebbene, alcuni problemi possono essere divertenti, oppure strani, perché presentano difficoltà di risoluzione o relazioni inattese. È come osservare, da un pertugio, un tesoro nascosto nelle profondità, o guardare uno scorcio di paesaggio da una finestra, o aspettare di vedere qualcosa di nascosto da un velo. Della matematica, inoltre, mi piace la capacità di soluzione mediante unificazione: unendo tanti aspetti di un problema, si può arrivare, inaspettatamente, alla comprensione.

Occorre un equilibrio fra la disciplinata capacità di risolvere i problemi e l’applicazione del pensiero logico, da un lato, e dall’altro, la qualità di volteggiare liberamente nell’aria come un poeta, immaginando l’intero universo delle possibilità e sperando di riuscire a tornare, in qualche modo, sulla terra… Per questo credo che trovare dei buoni maestri, capaci di dosare entusiasmo e rigore, sia essenziale.

Henri Poincaré (1854 – 1912)

Solo i problemi poco interessanti si possono formulare in maniera non ambigua e si possono risolvere completamente.

Giuseppe Peano (1858 – 1932)

Da Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1924

L’insegnante di buona volontà potrà combinare problemi simili e migliori dei precedenti, onde rendere attraente lo studio.
La differenza tra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi così come sono, richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento.

George Pólya (1887 – 1985)

Da La scoperta matematica. Capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi, (vol. II), Milano, 1971

Decalogo per l’insegnante (di matematica)
* Abbi interesse per la tua materia.
* Conosci la tua materia.
* Cerca di leggere sul viso degli studenti; cerca di capire le loro aspettative e le loro difficoltà; mettiti al loro posto.
* Tieni conto che il miglior modo per imparare qualsiasi cosa è di scoprirla da soli.
* Dai ai tuoi studenti non soltanto informazioni, ma anche sapere-come, attitudini mentali, abitudine al lavoro metodico.
* Fai loro imparare a congetturare.
* Fai loro imparare a dimostrare.
* Cerca quegli aspetti del problema in questione che possono essere utili per problemi futuri – cerca di mettere in evidenza lo schema generale che sta dietro la situazione concreta presente.
* Non rivelare immediatamente tutto quello che sai e devi spiegare agli studenti – fallo congetturare dagli studenti prima di dirlo – fai loro scoprire, da soli, quanto più è possibile.
* Suggeriscilo; non forzarlo.

Dalla prefazione alla prima edizione (1944) di Come risolvere i problemi di matematica

Un’idea geniale risolve spesso un grande problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un problema modesto, tuttavia, se esso stuzzica la nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e, soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si scoprirà l’ansia della ricerca e la gioia della scoperta.

Se [l’insegnante di matematica] risveglierà la curiosità degli alunni proponendo problemi di difficoltà proporzionate alle conoscenze della scolaresca e li aiuterà a risolvere le questioni proposte con domande opportune, egli saprà ispirare in loro il gusto di un ragionamento originale.

Da Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica del metodo matematico (Utet 2016, traduzione di How to solve it, Princeton University Press, 1945)

Quando uno studente commette errori davvero grossolani, oppure procede in modo così lento da esasperare l’insegnante, la causa di tutto ciò è sempre la stessa: egli non ha alcun desiderio di risolvere quel problema, non vuole comprenderlo e quindi non lo comprende veramente. Perciò l’insegnante dovrebbe, se intende aiutare seriamente i suoi alunni, per prima cosa eccitarne la curiosità e far nascere nei loro animi il proponimento di conoscere la soluzione di quell’esercizio.

Insegnare a risolvere i problemi significa anche educare la volontà. Proprio risolvendo problemi che non siano per lui troppo facili, lo studente impara a perseverare malgrado gli insuccessi, ad apprezzare i piccoli progressi, ad attendere un’idea luminosa, a concentrarsi il più possibile su di essa quando gliene venga una. Si può dire che l’educazione matematica si risolve in un completo fallimento se un ragazzo non ha, durante la sa carriera scolastica, l’occasione di familiarizzare con le emozioni causate dalle diverse fasi della risoluzione dei problemi.

Dalla prefazione alla prima edizione italiana (1971) di La scoperta matematica – volume 1 – Capire, imparare e insegnare a risolvere problemi

Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile.

Risolvere problemi è un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano: si può considerare il risolvere i problemi come l’attività più caratteristica del genere umano.

Descartes meditò su un metodo universale per risolvere tutti i problemi e Leibnitz formulò molto chiaramente l’idea di un metodo perfetto. Tuttavia la ricerca per un metodo universale perfetto non ha avuto più successo della ricerca della pietra filosofale, che si supponeva cambiasse i metalli vili in oro; ci sono dei grandi sogni che devono restare sogni. Cionondimeno tali ideali irraggiungibili possono influenzare la gente: nessuno ha mai raggiunto la Stella Polare, ma molti hanno trovato la retta via guardando ad essa.

Pietro Canetta (1921 – 1998)

Dalla Premessa all’edizione italiana di La scoperta matematica – volume 1 di George Polya (Feltrinelli 1971)

Il problema è l’esca migliore per destare l’attenzione dell’allievo, purché esso sia scelto opportunamente nell’ambito di reali interessi e sia presentato con cura; esso risulta molto utile per far convergere tale attenzione sulla teoria che ne permette la risoluzione. In altre parole, didatticamente il problema deve precedere la teoria in modo da far nascere nel discente l’esigenza di questa e non viceversa.

Modesto Dedò (1914 – 1991)

Da Invito alla matematica ricreativa, in “Cultura e Scuola”, n. 20, ottobre-dicembre 1966

Un problema che stimoli la curiosità, che stuzzichi l’inventiva, che possa essere risolto senza grandi apparati tecnici, può rappresentare ad una certa giovane età, un’esperienza determinante sia sul carattere, sia sull’atteggiamento mentale; esperienza che non potrà non tradursi in un potenziamento di quelle che oggi appaiono essere le più importanti componenti della vita sociale.

Da Problemi dell’insegnamento scolastico, in “Bollettino dell’Unione Matematica Italiana”, (5), 13 A (1976)

Una componente essenziale dell’insegnamento della matematica è quella di insegnare a risolvere i problemi. Non si sa insegnar matematica se non si sanno proporre e risolvere problemi.

È opinione di molte persone qualificate che la cosa più importante nell’insegnamento della matematica, a livello secondario, sia ancora quella di dedicare e indirizzare buona parte dell’insegnamento alla risoluzione di problemi che stimolino la curiosità, che stuzzichino la inventiva, che possano essere risolti senza grandi apparati tecnici. Si dovrebbe così arrivare a suscitare il gusto per la ricerca e per la scoperta e fare acquistare confidenza sulle possibilità dell’allievo di arrivare a risolvere anche quegli altri problemi che, essendo presentati con apparati tecnici più complicati, sembrano del tutto inaccessibili ai non iniziati. Se riusciremo a suscitare il gusto per la risoluzione di problemi, contribuiremo per la nostra parte ad indicare che spesso il segreto di ogni vero successo è quello di dedicarsi anima e corpo all’impresa.

Leon Albert Henkin (1921 – 2006)

In L.A. Steen and D.J. Albers, Teaching Teachers, Teaching Students, Brirkhauser, Boston

Uno dei grandi malintesi sulla matematica che commettiamo nelle nostre aule di scuola è che il professore sembra sempre conoscere la risposta di ogni problema che si discute. Ciò dà agli studenti l’idea che da qualche parte c’è un librone con tutte le risposte corrette a tutte le domande interessanti, che gli insegnanti ce l’hanno, e basterebbe trovarlo per avere tutto a posto. Questo è davvero l’opposto della vera natura della matematica.