Problemi e laboratorio

Abbiamo inserito in questa pagina alcune riflessioni (corpose, ma senza la pretesa di essere esaurienti) relative al come proporre i Problemi per matematici in erba in classe. Per approfondire le questioni che accenniamo qui sotto, si consiglia la lettura dell’articolo Laboratorio di matematica: una sintesi di contenuti e metodologie di Maria Dedò e Simonetta Di Sieno, allegato a fondo pagina.

Lavorare in gruppo

Una delle caratteristiche fondamentali del laboratorio di matematica è il fatto che in esso gli alunni non lavorano singolarmente, ma in piccoli gruppi.

Un gruppo di alunni di una classe prima della scuola secondaria di primo grado lavora su un problema relativo ad una piastrellatura del piano

Il primo scopo del far lavorare gli studenti in gruppo è quello di aiutarli a sviluppare alcuni aspetti della loro competenza matematica: argomentare, definire, descrivere, congetturare, verificare sono processi che si mettono in atto in maniera molto più naturale se si ha un interlocutore.

Certamente uno degli obiettivi dell’attività di risoluzione di problemi nel laboratorio matematico è quello di rendere gli alunni capaci di questi processi anche in autonomia; allo stesso tempo, questa attività li allena anche nell’uso delle loro competenze sociali, sempre più indispensabili in un qualsiasi lavoro, e anche al di fuori dell’attività lavorativa.

Il fatto di non essere soli a lavorare su un problema, inoltre, diminuisce la paura dell’errore. Scrive una docente che ha partecipato ai corsi MathUp:

Il lavorare in gruppo è sempre un punto di forza, i ragazzi si lasciano coinvolgere e soprattutto tutti cercano di dare il proprio contributo, si sentono liberi di “sbagliare”, sanno che non sono giudicati e che devono “tentare”, quindi assumono quell’atteggiamento di ricerca che li aiuta a risolvere anche i quesiti più difficili.

E sempre a questo proposito un’altra insegnante scrive:

Hanno iniziato a comprendere che l’errore non va visto come una sconfitta, ma come un nuovo punto di partenza. Il confronto tra di loro, soprattutto nel piccolo gruppo, ha permesso di mettere da parte la “vergogna” e di provare a essere più “spudorati” nelle loro proposte di soluzione. La presenza defilata della docente è stata un altro fattore determinante: non sentirsi giudicati o valutati è servito loro a darsi meno freni e a buttarsi più serenamente nella ricerca della soluzione.

Sull’errore in matematica e su come i problemi possano essere utili per capirne il valore si possono trovare alcuni approfondimenti nella pagina Problemi ed errori.

Come formare i gruppi

Nella maggior parte dei casi gli insegnanti tendono a costruire i gruppi in modo che siano omogenei tra loro, eterogenei al loro interno; questo spesso permette il reciproco aiuto, obbliga i più veloci ad andare più lentamente (e quindi consente loro di controllare meglio e di affinare le proprie abilità argomentative), e insieme dà la possibilità ai più lenti di avere un appoggio, una sorta di tutoraggio tra pari.

Non solo: tanti ragazzini veloci e bravi tendono a voler “andare avanti” rapidamente non appena hanno trovato una risposta che ritengono corretta, eludendo così qualsiasi momento di ulteriore riflessione. Se è del tutto comprensibile la voglia di fare un’altra cosa quando si pensa di aver “capito tutto”, è anche vero che passare sistematicamente in velocità da una cosa all’altra impedisce a questi ragazzi di “digerire” a fondo le questioni e non li aiuta a divenire consapevoli delle proprie capacità e dei propri processi cognitivi. Sta certamente all’insegnante trovare un modo per aiutare questi ragazzini a fermarsi: chiedere loro di spiegare agli altri come sono arrivati a certe risposte è un modo principe per andare in questa direzione.

Scrive, ad esempio, una docente che ha partecipato ai corsi MathUp:

Osservando i vari gruppi lavorare, ho potuto notare che tutti gli alunni si sono sentiti ugualmente coinvolti. I ragazzini più deboli erano più sicuri perché hanno potuto contare sull’aiuto dei loro compagni più intuitivi, per qualsiasi chiarimento, e, ascoltando le loro argomentazioni, si sono aperti a nuove considerazioni, che da soli non avrebbero pensato. I ragazzini più dotati, invece, si sono sentiti investiti della responsabilità di coinvolgere e motivare gli altri componenti del gruppo e di rispondere a qualsiasi loro bisogno. Ne è scaturito un clima di collaborazione e rispetto reciproco.

Non sempre questa modalità di formazione dei gruppi si rivela ottimale. Possiamo leggerlo nelle parole di un’altra insegnante di scuola secondaria di primo grado che ha partecipato ai corsi MathUp:

Alcuni dei ragazzi più in difficoltà mi hanno a volte detto che si sentono veramente inutili nei gruppi. Riporto le parole di un mio ragazzino dopo un lavoro lo scorso anno: “Io durante questo lavoro non ho fatto niente perché mentre io pensavo una cosa, loro ne avevano già fatte due!”. Mi aveva colpito soprattutto la differenza nell’uso dei verbi “io pensavo… loro avevano fatto” perché rende proprio bene la differenza nei tempi di lavoro tra i diversi ragazzi.

Alcuni insegnanti hanno così sperimentato, con discreto successo, gruppi eterogenei tra loro, più omogenei al loro interno. Le difficoltà di avere a che fare con gruppi eterogenei possono essere smussate dal fatto che un problema abbia più domande, di complessità crescente; se un testo contiene dei suggerimenti, questi possono essere dati ad alcuni gruppi e celati ad altri; a volte possono essere predisposti materiali di supporto da dare ai gruppi più in difficoltà. Anche l’intervento dell’insegnante può essere differenziato: i gruppi più autonomi possono lavorare anche fuori dall’aula, dove torneranno per la discussione finale; i più deboli staranno invece in un luogo in cui l’insegnante li possa vedere per intervenire in caso di bisogno.

Scrive in proposito una tutor dei corsi MathUp:

Nei gruppi omogenei dove i componenti si confrontano su problemi alla portata di tutti, ogni alunno ha modo di mettersi in gioco allo stesso modo degli altri e di avere, alla fine dell’attività, le sue soddisfazioni.

Non esiste una ricetta universale, che vada bene in ogni classe, in ogni momento, in ogni situazione. Le esperienze condivise da parte di tanti insegnanti ci hanno convinti del fatto che la cosa più utile sia provare strade diverse (a proposito di modalità di formazione dei gruppi, ma non solo) in modo tale da:

  • poter osservare che cosa succede di volta in volta nella nostra classe e capire quali vantaggi e quali svantaggi si ottengono con ciascuna modalità;
  • consentire agli alunni, ai gruppi e alla classe di sperimentare gli effetti positivi di ciascuna modalità;
  • evitare il cristallizzarsi e l’ingigantirsi degli “effetti indesiderati” di una unica modalità.

Un’ultima osservazione che ci pare opportuno condividere in questa sede riguarda il fatto che, quand’anche un giorno sbagliassimo nel formare i gruppi e la suddivisione fatta si rivelasse inefficace, non tutto è perduto. Significativo è l’esempio di una classe che era stata divisa dall’insegnante in gruppi di livello (gruppi omogenei al proprio interno). In quella occasione, nel gruppetto dei “bravi”, che bravi erano e bravi si sentivano, tutti volevano primeggiare: si sono messi a litigare, invece di ascoltarsi, e non hanno risolto il problema (che è stato invece risolto dagli altri gruppi). ​ Delusi, alla lezione successiva non volevano più stare in gruppo insieme, ma l’insegnante ha insistito; e questi ragazzini, bravi ma litigiosi, al secondo tentativo hanno capito la lezione e hanno imparato che ascoltarsi a vicenda era per loro più conveniente che tentare di essere a tutti i costi i “primi della classe”.

Sono davvero tante e diverse le situazioni come quella che qui abbiamo raccontato, in cui una scelta che all’inizio sembra essere fallimentare può poi rivelarsi terreno fertile per far capire ai ragazzi, a tutti i ragazzi, quanto importante sia confrontarsi con gli altri senza pregiudizi, come ben riassume questa osservazione di un’insegnante:

Questa tipologia di problemi ha messo in discussione la loro idea su chi fosse più o meno bravo in matematica, alcuni hanno preso più fiducia nelle proprie capacità, trovando il coraggio di proporre e di sostenere le proprie idee, altri hanno imparato a mettere in discussione le proprie di fronte alle argomentazioni di un compagno.

Lavorare con le mani

Ciò che fa sì che una attività diventi un laboratorio non è il fatto che sia prevista una fase “pratica”, in cui gli alunni debbano tagliare, incollare, manipolare… Se gli alunni svolgessero tutte queste attività in maniera “esecutiva”, guidati passo passo dall’insegnante che fornisse loro istruzioni precise, non ci sarebbe laboratorio, perché mancherebbero ingredienti fondamentali quali il progettare, il discutere, il congetturare, il verificare, il negoziare…

Detto questo, siamo convinti che ci siano “scoperte” che passano più facilmente dalle mani che dagli occhi e dalle orecchie.
Sicuramente ci sono alunni che prediligono “fare” rispetto ad “ascoltare”; come è anche vero che ci sono alunni che si sentono inadeguati quando devono tagliare, incollare, modellare e che preferiscono leggere, scrivere, discutere; ed è un vero peccato che un ragazzo cresca sentendosi negato per qualsiasi attività di tipo manuale.

Sia per gli uni che per gli altri, la nostra esperienza ci fa dire che spesso accade che l’apprendimento astratto passi anche dagli occhi e passi anche dalle mani: la nostra mente coglie, apprezza e comprende meglio un dato concetto se noi, oltre ad averne sentito parlare o ad averne visto una qualche rappresentazione, abbiamo anche toccato e, ancor di più, costruito un qualche modello che lo illustri.

Questo è il motivo per cui è utile e opportuno che agli alunni venga data la possibilità di utilizzare modellini o rappresentazioni di ciò di cui si sta parlando. Non solo: in alcuni dei problemi proposti la costruzione pratica di ciò su cui si è lavorato è proprio una richiesta esplicita, atta non tanto a rendere l’attività più coinvolgente o “meno pesante”, quanto a dare la possibilità alle mani degli alunni di “leggere” (nel senso etimologico di “raccogliere”) informazioni che agli occhi da soli sarebbe difficile vedere.
Ad esempio, i ragazzi di un gruppo a cui è stato proposto il problema I cappelli di Giuliano) scrivono:

All’inizio abbiamo fatto confusione perché non riuscivamo a capire che c’erano due cerchi: uno è la base del cono e uno è il cerchio da cui è ritagliato il settore e sono diversi. Ci è servito molto colorare la circonferenza di base di un modellino di cono e poi aprire il cono: allora ci siamo resi conto!

Se ci fosse bisogno di dimostrare quanto questo sia vero non solo per i ragazzini, basterebbe citare William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907) che in Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light scriveva:

I am never content until I have constructed a mechanical model of the subject I am studying. If I succeed in making one, I understand; otherwise, I do not.
[Non mi accontento mai fino a quando non ho costruito un modello meccanico di ciò che sto studiando. Se riesco a farne uno, capisco; altrimenti no.]

Tenere in mano un nastro di Moebius non è come sentirne solo parlare!

Il ruolo dell’insegnante

Nel laboratorio di matematica il ruolo dell’insegnante diventa quello di una guida esperta che osserva e ascolta – rispondendo ad eventuali domande, incoraggiando a proseguire le vie più ricche di spunti e distogliendo da quelle poco significative – e che infine aiuta i ragazzi a tirare le fila dell’attività che hanno svolto.

Se durante lo svolgersi del laboratorio l’insegnante sembra occupare una posizione, per così dire, defilata, non si può comunque dire che egli sia una figura “secondaria”. Scrive Hans Freudenthal nel secondo capitolo di Ripensando l’educazione matematica. Lezioni tenute in Cina (Editrice La Scuola, 1994):

Guidare la reinvenzione significa trovare un delicato equilibrio tra la libertà dell’inventare e la forza del guidare, tra il permettere al discente di divertirsi e il chiedergli di compiacere al docente. Inoltre la libertà di scelta del discente è sempre limitata dal “re” di “reinvenzione”. Il discente deve inventare qualcosa che per lui è nuovo, ma che è ben conosciuto da chi guida.

Il ruolo dell’insegnante è quindi tutt’altro che secondario.

  • Il docente sceglie i problemi da proporre e come inserirli nella programmazione della propria classe affinché siano davvero significativi; i problemi stessi possono costituire l’ossatura di un percorso, che ciascun insegnante costruirà per la propria classe; alcuni spunti di riflessione su percorsi già sperimentati saranno prossimamente inseriti nelle pagine di questo sito relative a particolari nodi tematici, contenute nella sezione Quasi un libro.
  • Il docente per primo contribuisce a creare in classe un clima favorevole al lavoro degli studenti: buone relazioni tra la classe e l’insegnante, ma anche tra gli alunni stessi, richiedono un notevole impegno per essere costruite.
  • Il docente fa un passo indietro, smette di spiegare e di “svelare”, ma non smette di lavorare: osserva e annota quanto può essere importante riportare all’attenzione di tutti (al termine dei lavori di gruppo); fa domande che possano essere di stimolo per la riflessione degli alunni che da soli non riuscissero a muovere il primo passo.
  • Il docente aiuta i ragazzi in difficoltà a cambiare il proprio punto di vista, eventualmente fornendo loro dei “suggerimenti” (del materiale in più, un disegno diverso, uno schema); scrive George Polya in Come risolvere i problemi di matematica:

    Se l’insegnante è troppo prodigo di aiuto, all’alunno non resta più nulla da fare; quindi l’insegnante dovrebbe intervenire, ma non troppo nè troppo poco, in modo che lo studente possa sostenere una parte ragionevole di lavoro. Se l’allievo non è in grado di fare molto, l’insegnante dovrebbe lasciargli almeno l’illusione di saper lavorare da solo; a tal fine egli dovrebbe aiutare il ragazzo con discrezione, in maniera opportuna.

  • Il docente fa tesoro degli errori degli alunni, trovando in essi ogni volta che è possibile (e lo è molto più spesso di quanto non possa sembrare) qualcosa da imparare; a questo tema abbiamo dedicato in particolare la pagina Problemi ed errori alla quale rimandiamo.
  • Il docente tira le fila del discorso, partendo dalle congetture dei diversi gruppi, dagli errori e dai successi; aiuta gli alunni a cogliere, nel problema affrontato, schemi che potranno essere utili per risolvere i problemi futuri; aiuta gli alunni a porsi domande utili per esplorare la natura delle difficoltà appena superate; fa in modo che i problemi risolti non rimangano la risposta a curiosità isolate, ma aggiungano profondità alle conoscenze strutturate degli alunni.
  • E ancora, come si legge nell’articolo Laboratorio di matematica: una sintesi di contenuti e metodologie di Maria Dedò e Simonetta Di Sieno:

    L’insegnante può compiere un’opera preziosa mettendo in evidenza quei momenti che hanno costituito dei passaggi significativi, discutendo le differenze fra gli approcci di diversi gruppi, in modo che i ragazzi acquisiscano in pratica l’idea che non c’è mai un’unica strada per risolvere un problema, mettendo in luce sia quel quid che ha fatto fare un salto qualitativo in direzione dell’astrazione, sia il ruolo della tecnica, ad esempio una buona notazione che abbia permesso di gestire in maniera tranquilla un problema che altrimenti sembrava estremamente difficile.

Oltre che all’articolo già citato di Maria Dedò e Simonetta Di Sieno, rimandiamo anche alla lettura di La scoperta matematica. Capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi (volumi 1 e 2) di George Polya; dal secondo volume è tratto il Decalogo per gli insegnanti riportato nella pagina Sulle spalle di giganti (e non solo).

La valutazione

I problemi qui raccolti (pur chiamandosi nello stesso modo) hanno caratteristiche molto diverse da quelle dei “problemi” che spesso si trovano nei libri di testo, pensati per verificare se un alunno ha acquisito determinate conoscenze o se è diventato abile nell’uso di certe tecniche. All’origine dei problemi che qui proponiamo sta la convinzione che essi possano essere utilizzati con l’obiettivo di costruire conoscenze, abilità e competenze: per questo essi sono necessariamente complessi e necessariamente contengono elementi nuovi e sfidanti.

Se si accetta di farne questo uso, è importante dirlo agli alunni. Essi dovranno pian piano uscire da quelle eventuali convinzioni che un uso precedente e continuativo dei “problemi” di cui si diceva sopra possa aver creato (convinzioni come: “ci sarà sicuramente una sola risposta giusta”, “più sono veloce a risolverlo, meglio è”, “per risolverlo devo usare solo le conoscenze e le abilità apprese recentemente in classe”, “se non sono più che certo di qualcosa è meglio che non ci provi nemmeno, perché tutto ciò che dico, scrivo e faccio potrebbe essere usato contro di me”…).

Naturalmente l’insegnante, dopo aver visto i propri alunni lavorare su questi problemi, potrà esprimere delle valutazioni sulle competenze da loro messe in atto, come anche sulla risoluzione dei problemi stessi. Purché però un “buon” problema venga considerato tale non in base a quante risposte giuste l’insegnante è riuscito a collezionare, quanto piuttosto a quanto esso sia riuscito a mettere in moto meccanismi che (lentamente) arrivino a costruire delle idee.

Allegati

  • Il laboratorio di matematica • 230 kB • 97 click
    Maria Dedò, Simonetta di Sieno - Laboratorio di matematica: una sintesi di contenuti e metodologie