Scambiare le cifre

Trova un numero intero, di due cifre, che moltiplicato per 4,5 dia il numero che si ottiene scambiando tra loro le cifre del numero di partenza.

Oltre a quello che hai trovato, pensi ci siano altri numeri con la stessa proprietà? Perché?

Soluzione

Il numero cercato è 18 (ed è l’unico con queste caratteristiche).

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Questo è un esempio di un problema flash che non richiede particolari conoscenze, ma solo una certa “agilità” nel maneggiare i numeri, che è proprio l’agilità che vorremmo consolidare negli alunni.

Se moltiplicando un numero per 4,5 si ottiene un numero intero, il numero da cui si parte deve essere un numero pari.

Ora:

  • il prodotto di un pari per 4,5 è un multiplo di 9;
  • quindi il numero che si ottiene come prodotto tra il numero cercato e 4,5 è un multiplo di 9;
  • ma allora anche il numero cercato è un multiplo di 9, perché ha le stesse cifre del precedente (e basta ricordarsi del criterio di divisibilità per 9…).

Di conseguenza il numero di partenza deve essere un multiplo di 18 (perché è sia pari che multiplo di 9), ma non può essere troppo grande, altrimenti il prodotto per 4,5 darebbe un numero di tre cifre.
In effetti, non c’è nemmeno bisogno di fare la moltiplicazione per accorgersi che 36 x 4,5 è un numero maggiore di 100, quindi di 3 cifre; allora 18 è l’unica possibile soluzione. E infatti possiamo verificare che 18×4,5=81.

Scenari possibili

Questo problema è stato proposto con successo ad alunni di diverse classi della scuola secondaria di primo grado, sia all’interno delle attività scolastiche che in situazioni meno formali.

Si presta ad essere presentato però anche ad alunni della scuola primaria e a studenti della scuola superiore. Può essere, per tutti, uno di quei problemi che aiutano a “prendere confidenza con i numeri”, ad usarli senza diventarne ostaggio, a sfruttarne con scioltezza le proprietà di cui si è capito il significato.

Per quanto possa sembrare paradossale, è esperienza di tutti gli insegnanti il fatto che, a volte, quando gli studenti (piccoli e grandi) si trovano a dover fare un calcolo, o a cercare un numero che goda di determinate proprietà, cerchino di usare algoritmi e regolette, rinunciando a usare… la testa! “Scambiare le cifre” è uno di quei problemi che, nella loro brevità e semplicità, costringono invece proprio a fare il contrario.

Allegati

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    Testo del problema "Scambiare le cifre" scaricabile e stampabile

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