Per un mercatino di beneficenza Luisa si è offerta di preparare dei pasticcini, e con gli ingredienti che aveva in casa è riuscita a farne 38.
Sta pensando a come trasportarli e scopre che si incastrano proprio bene in quei portauova che hanno posto esattamente per 6 uova, perché ogni pasticcino ha dimensione e forma più o meno come un uovo. Decide quindi di usare i portauova come vassoi, perché ne ha in casa tanti e così i pasticcini non si rovinano.
Luisa pensa quindi di portare al mercatino un po’ dei suoi portauova pieni di pasticcini e di tenere però anche alcuni pasticcini a casa per il fratellino Marco che ne è goloso.
Quanti portauova pieni può portare Luisa al mercatino?
Quanti pasticcini restano per Marco?
Vi sarete accorti che ci sono più modi per rispondere a queste domande:
- Quale delle vostre risposte è quella che permette a Luisa di portare il maggior numero possibile di portauova pieni al mercatino?
- C’è una risposta che prevede che a Marco non rimangano affatto pasticcini? Se la vostra risposta a quest’ultima domanda è no, quanti pasticcini rimangono almeno per Marco?
Soluzione
Le possibili risposte alle prime due domande sono le seguenti:
| numero di portauova pieni che Luisa porta al mercatino |
numero di pasticcini che rimangono a casa per Marco |
| 6 | 2 |
| 5 | 8 |
| 4 | 14 |
| 3 | 20 |
| 2 | 26 |
| 1 | 32 |
Infatti:
38 = 6×6+2
38 = 6×5+8
38 = 6×4+14
38 = 6×3+20
38 = 6×2+26
38 = 6×1+32
Il fatto che 38 non sia multiplo di 6 garantisce che è impossibile una risposta in cui tutti i pasticcini finiscano nei portauova e non ne resti nessuno per Marco.
La risposta che permette a Luisa di portare il maggior numero possibile di portauova pieni al mercatino e di lasciare a casa per Marco il minor numero possibile di pasticcini è la prima (cioè l’unica in cui questo secondo numero è strettamente minore di 6): il numero di vassoi corrisponde al quoziente della divisione (in N) di 38 per 6, e il numero di pasticcini che rimangono a casa corrisponde al resto della stessa divisione.
Commenti
Un problema significativo
Questo problema ha lo scopo di focalizzare l’attenzione dei ragazzi sul significato e sulle proprietà del quoziente e del resto nella divisione tra numeri naturali.
La nostra esperienza ci mette di fronte al fatto che, spesso, dopo aver imparato a proseguire con l’algoritmo della divisione “in colonna” per calcolare le cifre decimali di un quoziente, gli alunni “dimenticano” il significato della divisione tra numeri naturali, in particolare dimenticano il significato del resto. Anzi: potremmo dire che a volte dimenticano addirittura l’esistenza del resto!
Diversamente dalla addizione e dalla moltiplicazione in N e diversamente dalla divisione in Q e dalla sottrazione in Z (che a due numeri associano un solo altro numero), la divisione in N associa a due numeri naturali altri due numeri naturali (che chiamiamo quoziente e resto della divisione). Questo fatto può apparire molto innaturale, al punto che, spesso, gli alunni tendono a dimenticarsi del resto, come se fosse uno “scarto”, un “avanzo” (termini tra l’altro a volte usati come sinonimi) da buttar via.
Le ultime domande del problema vogliono far sì che gli alunni pongano attenzione al fatto che, tra tutte le coppie di numeri q e r che soddisfano la relazione
38=6·q+r
ce n’è una (sola!) che riteniamo in qualche modo “privilegiata” ed è quella per cui 0≤r<6 e quindi è anche quella per cui q è il più grande possibile: ecco che questo q e questo r sono proprio il quoziente e il resto della divisione (in N) di 38 per 6.
Un problema memorabile
La contestualizzazione scelta qui è solo una delle tante possibili per problemi che richiedano per la loro soluzione una divisione in N e in particolare per i quali il resto gioca un ruolo rilevante.
Un altro problema simile, ma ambientato in una situazione diversa, è La calcolatrice ha sempre ragione?. E altri problemi che richiedono di utilizzare proprio il resto (e addirittura solo il resto) come output interessante in una divisione tra numeri naturali sono Il fregio di Halloween e L’ultima cifra.
Naturalmente, non ci sono motivi a priori per cui una data contestualizzazione sia migliore di altre. Tuttavia, può succedere che alcuni alunni “entrino in risonanza” più facilmente con un’ambientazione, e altri con un’altra. Per questo motivo, è utile che ogni insegnante si costruisca una collezione di problemi contestualizzati in situazioni diverse, ciascuno dei quali possa diventare un problema memorabile almeno per qualche alunno.
Una pluralità di soluzioni
Non è un caso che in questo problema non si chieda subito il massimo numero di portauova pieni che Luisa può portare al mercatino. In questo modo, infatti, è possibile lasciar emergere soluzioni diverse, alcune delle quali saranno – dal punto di vista di Marco – più generose, altre più avare!
E la presenza di soluzioni diverse, oltre a dare la possibilità ai ragazzi di discutere tra loro e di vagliare gli uni le risposte degli altri, dà la possibilità all’insegnante di mettere in luce ancor meglio quali sono le peculiarità della risposta ottenibile attraverso la divisione.
Un problema aperto
L’uguaglianza
Una richiesta ulteriore che è possibile fare ai ragazzi che hanno risolto questo problema riguarda il trovare delle uguaglianze che esprimano le soluzioni trovate.
Dalla nostra esperienza in classe, ci aspettiamo che non sia immediato, per i ragazzi, scrivere espressioni del tipo
38 = 6×1+32
38 = 6×2+26
38 = 6×3+20
38 = 6×4+14
38 = 6×5+8
ed infine
38 = 6×6+2.
Anche a partire da queste uguaglianze si possono ritrovare le condizioni che caratterizzano quoziente e resto di cui si diceva poco sopra. Infatti l’ultima si distingue dalle precedenti per il fatto che 2 verifica le condizioni 0≤2<6 e quindi esprime proprio la divisione, nel senso che vi si ritrovano i quattro numeri coinvolti: i due input (38 e 6), il quoziente 6 e il resto 2.
Arrivare a formulare queste uguaglianze può essere importante sia per visualizzare in modo ancora più sintetico il significato e le proprietà del quoziente e del resto della divisione in N, sia per abituare gli alunni ad un uso corretto del simbolo “=”.
Spesso i ragazzi leggono il segno di uguaglianza come un “comando”. In quest’ottica, la scrittura 6×5+8=38 significherebbe “moltiplica 6 per 5, al risultato aggiungi 8 e ottieni 38”, mentre la scrittura 38=6×5+8 viene letta con diffidenza, perché si fatica a capire qual è il “comando” che è stato dato.
Di questa e di altre difficoltà legate al concetto di uguaglianza parleremo presto nelle pagine della sezione Quasi un libro dedicate a questo argomento.
che succede se cambiamo i contenitori?
Una situazione interessante da considerare è quella che si crea cambiando i contenitori in cui Luisa decide di trasportare i pasticcini. Da questo punto di vista i portauova tornano particolarmente comodi, perché (oltre a quelli da 6) sono diffusi in commercio anche quelli da 4 e quelli da 10 uova.
A seconda dell’età degli alunni cui si propone questo problema, lo si può, in questa direzione, ampliare con domande diverse:
- Se i portauova contenessero esattamente 4 pasticcini ciascuno (invece che 6), che cosa cambierebbe? Nel caso in cui Luisa decidesse di portare al mercatino il maggior numero possibile di contenitori pieni, a Marco rimarrebbero più o meno pasticcini rispetto a prima?
- E se i portauova contenessero esattamente 10 pasticcini ciascuno (invece che 6)?
Scenari possibili
Il problema può essere proposto anche a bambini delle prime classi della scuola primaria, ancor meglio se mettendo a loro disposizione dei portauova e degli oggetti da usare al posto dei pasticcini; ma può essere anche proposto nelle classi successive, quando si introduce la divisione, per riflettere sul significato del quoziente e del resto. Così come può essere assegnato ai ragazzini della prima classe della scuola secondaria di primo grado, quando si riprendono le operazioni tra i numeri naturali.
Questo problema – apparentemente tanto semplice – può essere utile anche con ragazzi più grandi! Per esempio, in alcune classi terze della scuola secondaria di primo grado l’abbiamo usato quando qualche ragazzo, di fronte alla richiesta se fosse o meno possibile costruire una piramide con 15 spigoli e, nel caso fosse possibile, di dire quanti spigoli avesse la base, ha tranquillamente risposto che il poligono di base della piramide aveva 7,5 spigoli. In casi di questo genere, tornare al problema dei pasticcini (per esempio) può essere utile per far capire ai ragazzi che l’errore commesso sta (non nel non aver studiato la definizione di piramide o la formula del volume della piramide, ma) nel non aver capito che la domanda richiedeva una divisione in N anziché in Q.
Materiale necessario
Se si decide di proporre un problema come questo a bambini della prima classe della scuola primaria, è bene fornire loro anche dei portauova e degli oggetti (ad esempio dei tappi) da usare al posto dei pasticcini.
In questo caso sarebbe opportuno, a meno di riscontrare in alcuni bambini una eccessiva difficoltà, non dare tutti i portauova e tutti gli oggetti necessari a rappresentare completamente la situazione, in modo tale che i bambini siano costretti a trovare delle strategie “astratte” per risolvere il problema, invece di passare per la distribuzione dei 38 oggetti nei portauova a loro disposizione.
Problemi collegati
La calcolatrice ha sempre ragione? è un problema che, come “I pasticcini”, richiede agli alunni una riflessione sul quoziente e il resto della divisione in N.
Anche i problemi Il fregio di Halloween e L’ultima cifra, cui si rimanda per ulteriori approfondimenti, vertono sulla divisione in N. Per risolvere questi problemi non serve nemmeno considerare il quoziente: l’unico risultato davvero necessario è il resto di alcune divisioni.
