La classe di Luisa è formata da 21 alunni. Quando il professore di lettere deve decidere a chi affidare l’incarico di distribuire eventuali materiali (verifiche corrette, quaderni, fotocopie…), utilizza questo metodo: apre a caso il libro che tiene sempre sulla cattedra, legge il numero della pagina alla quale il libro si è aperto, chiede a qualcuno di sommare le cifre di quel numero e alla fine affida l’incarico all’alunno che nell’elenco alfabetico corrisponde alla somma ottenuta.
Per esempio, se il libro viene aperto alla pagina 17, l’incarico verrà affidato a Riccardo Dotti, che è il numero 8; se viene aperto alla pagina 94, sarà affidato a Riccardo Nesi, che è il numero 13; se viene aperto alla pagina 98, sarà affidato a Camilla Pallottini che è il numero 17.
Passano i mesi e Luisa (che di cognome fa Zorzetti ed è l’ultima in ordine alfabetico) non è mai stata scelta. Luisa sospetta che il metodo dell’insegnante non sia tanto equo. Controlla il numero di pagine del libro usato per queste estrazioni: 136.
Come fareste a convincere il professore di lettere del fatto che, se continua a usare questo libro, c’è per forza qualcuno che risulta sempre escluso?
E se l’insegnante cambiasse libro e ne usasse uno di 400 pagine? Sapreste convincere gli allievi della classe che in tal caso tutti potrebbero essere estratti?
Secondo voi basta controllare che tutti i numeri della classe possono essere estratti per dire che il metodo è equo? Con un libro di 400 pagine, Marta Cavallini, che nel registro ha il numero 6, avrebbe le stesse probabilità di essere scelta rispetto a Luisa? Come fate a dirlo?
Soluzione
Se il professore di lettere continua a usare questo metodo con un libro di 136 pagine, gli alunni che corrispondono nell’ordine alfabetico ai numeri 19, 20 e 21 risultano sempre esclusi, perché la somma delle cifre di uno dei numeri da 1 a 136 va da un minimo di 1 (somma che si ottiene in corrispondenza della pagina 1, ma anche della pagina 10 o della pagina 100) a un massimo di 18 (somma che si ottiene in corrispondenza della pagina 99).
Se l’insegnante cambiasse libro e ne usasse uno di 400 pagine, tutti gli alunni della classe potrebbero essere scelti. Il numero 19 potrebbe essere estratto (per esempio) in corrispondenza della pagina 199, il numero 20 in corrispondenza della pagina 299 e il numero 21 in corrispondenza della pagina 399.
Non basta controllare che tutti i numeri da 1 a 21 possono essere estratti per dire che il metodo è equo: lo sarebbe solo se tutti gli alunni avessero la stessa probabilità di essere scelti cioè se ogni numero da 1 a 21 avesse le stesse possibilità di essere ottenuto come somma delle cifre di un numero da 1 a 400; ma così non è. Infatti, per esempio, mentre Luisa Zorzetti viene scelta solo se il libro si apre alla pagina 399, Marta Cavallini viene scelta in ben più di un caso (e precisamente in corrispondenza delle pagine 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, 204, 213, 222, 231, 240, 303, 312, 321 e 330).
Commenti
Questo problema ben si presta a essere uno dei primi passi di un percorso alla scoperta della probabilità. Non è un caso che questa parola compaia solo alla fine del testo ed è una scelta consapevole il fatto che non venga chiesto di calcolare la probabilità di un qualche evento: il problema è pensato infatti anche per ragazzini che di questo concetto abbiano ancora una idea, se così si può dire, ingenua.
Può quindi essere un bel problema da affrontare anche durante la scuola primaria (o all’inizio della secondaria di primo grado), alla luce del fatto che le Indicazioni Nazionali del 2025[1] prevedono, tra gli obiettivi specifici di apprendimento al termine della classe quinta, i seguenti:
- in situazioni concrete, riconoscere se un evento è possibile, impossibile o certo;
- data una coppia di eventi, ipotizzare quale sia il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili.
Un problema significativo
Ci sono almeno tre motivi per i quali questo problema è significativo:
- fornisce agli alunni l’esempio di un evento impossibile, ma apparentemente verosimile (l’estrazione di Luisa Zorzetti con il metodo del professore di lettere); e mostra come, usando la matematica, se ne possa cogliere l’impossibilità che altrimenti resta un po’ misteriosa;
- stimola i bambini a convincere i propri interlocutori attraverso l’argomentazione;
- dà un esempio non banale di eventi che, pur essendo generati in modo simile (l’apertura di un libro su una pagina a caso), non hanno la stessa probabilità di accadere.
Verosimile ma impossibile
Per quanto nel testo del problema non si utilizzi né la parola “evento”, né la parola “impossibile”, uno dei concetti ai quali ci si propone di avvicinare gli alunni attraverso Oggi tocca a… è proprio quello di evento impossibile.
L’aggettivo “impossibile” è di uso comune anche tra i bambini, che presto imparano che alcune cose sono palesemente irrealizzabili: è impossibile che gli asini volino, è impossibile respirare (senza attrezzatura) sott’acqua, è impossibile essere più vecchi dei propri genitori, è impossibile far sparire un oggetto con la sola forza del pensiero…
L’impossibilità di cui si parla in questo problema non è lampante come quella dei fatti qui sopra elencati: non è affatto immediato accorgersi che, con il metodo usato dall’insegnante di lettere, mentre è possibile che venga scelto l’alunno corrispondente al numero 18, è impossibile che venga scelto quello corrispondente al numero 19. Per riconoscere questa impossibilità c’è bisogno di analizzare la situazione nel suo complesso e quindi di pensarci su il tempo necessario a considerate tutti i casi possibili oppure a trovare delle regolarità che rendano l’analisi più breve ma non meno completa.
convincere argomentando
Il testo del problema chiede esplicitamente agli alunni di convincere il professore e i suoi allievi di qualcosa, dando per scontato che quest’opera di persuasione vada fatta con una argomentazione, o comunque con una spiegazione che si avvicini il più possibile a un’argomentazione; e non certo a suon di minacce o con l’inganno.
È chiaro che dovremo aspettarci modalità diverse a seconda dell’età dei nostri studenti, ma anche a seconda di quanto sono già abituati a spiegare, verbalizzare, esplicitare, raccontare o addirittura argomentare: in uno dei prossimi paragrafi presenteremo alcune modalità di risposta fra quelle più utilizzate dagli alunni delle classi che hanno sperimentato questo problema.
L’importante è richiedere sempre una giustificazione delle affermazioni fatte, e non accontentarsi di risposte che semplicemente ribadiscono quanto già dato per assodato nel testo, come ad esempio: “diremmo al professore che con questo metodo c’è qualcuno che rimane sempre escluso” o altre frasi del genere.
equiprobabilità
Cercare una risposta alle prime due domande dovrebbe portare gli alunni a riconoscere che a volte è necessario riflettere per distinguere, tra eventi apparentemente molto simili, quelli possibili da quelli impossibili; così cercare una risposta alla terza domanda dovrebbe aiutarli a capire la necessità di dare una misura di quanto è più o meno facile il verificarsi di un evento rispetto a un altro. Ed è proprio in relazione a questa necessità di misurare che il problema introduce la parola “probabilità”.
Ci pare importante notare che Oggi tocca a… non chiede di calcolare la probabilità, ovvero di trovare il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di un certo evento (nella fattispecie “la somma delle cifre del numero della pagina è 6” oppure “la somma delle cifre del numero della pagina è 21”) e il numero di casi possibili (che, essendo il libro di 400 pagine, sarebbero per l’appunto 400). Il problema chiede solo di spiegare se gli eventi in questione sono equiprobabili o no: per farlo basta mostrare che il numero dei casi favorevoli non è lo stesso.
Se questo problema viene proposto a ragazzi che hanno già incontrato la definizione classica di probabilità, ben venga che essi la calcolino. In caso contrario, suggeriamo di aspettare a dare questa definizione e di introdurla soltanto quando se ne sentirà davvero la necessità (tipicamente, quando si dovranno confrontare eventi per i quali il numero di casi possibili è diverso, come per esempio accade nella situazione presentata nel problema Dadi e pedine, di prossima pubblicazione).
Un problema memorabile
Era certamente scontato in partenza, ma abbiamo poi anche effettivamente constatato che Oggi tocca a… diventa un problema tanto più memorabile quanto più la contestualizzazione si avvicina all’esperienza reale dei bambini o dei ragazzi. Il problema ha suscitato il maggior interesse nelle classi dove qualche collega usava proprio il metodo di aprire il libro in una pagina a caso per decidere chi interrogare e questo ha reso possibile richiamarlo alla memoria degli alunni anche mesi dopo averlo affrontato. Insomma: abbiamo avuto una ulteriore riprova di quanto apprendimento ed emozioni siano collegati!
Strategie risolutive diverse
esiste almeno un escluso
Molti dei gruppi di alunni delle classi cui è stato proposto questo problema sono riusciti a capire (o forse sarebbe meglio dire a intuire o congetturare) che il numero più grande che si può ottenere sommando le cifre di un qualsiasi numero di pagina di un libro con 136 pagine è il numero 18, che si ottiene in corrispondenza della pagina 99.
Di questo fatto, solo alcuni alunni sono riusciti a dare spiegazioni davvero convincenti.
- Qualche gruppo ha pazientemente scritto tutti i numeri da 1 a 136 e, accanto a ciascuno di essi, la somma delle sue cifre, constatando poi che queste somme coprono tutti e soli i numeri da 1 a 18.
- Qualche gruppo, invece, ha scritto tutti i numeri da 1 a 21 e, accanto a ciascuno di essi, i numeri compresi tra 1 e 136 delle cui cifre essi sono la somma, constatando poi che non ci sono numeri corrispondenti al 19, al 20 e al 21.
- Alcuni gruppi hanno proceduto “di decina in decina”, riconoscendo a quali numeri corrispondono le pagine da 1 a 9, poi quelle da 10 a 19, e così via, senza rifare esplicitamente i conti ogni volta, ma sfruttando i risultati ottenuti per la decina precedente.
- Qualche gruppo ha riconosciuto che il più grande numero che si può ottenere sommando le cifre di un numero di due cifre è quello che si ottiene dal numero con le cifre maggiori, cioè da 99; e come somma delle due cifre otteniamo 18. Fra i numeri con tre cifre da 100 a 136, quelli con le cifre più grandi sono 129 e 136, corrispondenti al 12 e al 10; quindi il numero più grande che si può ottenere come somma delle cifre con un libro di 136 pagine resta il 18.
nessuno è escluso
Anche alla seconda domanda non tutti i gruppi di alunni sono riusciti a rispondere in modo esauriente: per esempio molti hanno mostrato con quali pagine si possono ottenere il 19, il 20 e il 21 ma, non avendo prima mostrato in modo efficace che i numeri da 1 a 18 si potevano ottenere già con un libro di 136 pagine, hanno dato comunque una risposta solo parziale.
Tra i tentativi di argomentazione non proprio riusciti, ne ricordiamo uno in particolare, che ha suscitato parecchio interesse nella classe in cui è stato proposto, soprattutto perché a molti è sembrato inizialmente corretto:
Il numero 21, corrispondente a Luisa, ultima in ordine alfabetico, è la somma delle cifre della pagina 399; i 20 numeri precedenti corrispondono alle 20 pagine precedenti, quindi gli alunni possono essere tutti estratti.
Peccato che soltanto 9 numeri precedenti al 21 corrispondano effettivamente alle 9 pagine precedenti alla 399, perché quando si arriva alla pagina 389 la somma delle cifre è 20 (e non 11, come avrebbe dovuto essere se fosse stata vera l’affermazione qui sopra riportata).
Se emergono errori come questo è importante soffermarcisi, perché riflettere sui ragionamenti sbagliati e smascherarli è un ottimo modo per imparare ad argomentare.
Marta e Luisa hanno probabilità diverse
La maggior parte degli alunni delle classi che hanno affrontato questo problema ha ben capito che qui si trattava di mostrare che il numero corrispondente a Luisa (il 21) e quello corrispondente a Marta (il 6) possono essere ottenuti sommando le cifre di una quantità diversa di numeri di pagina.
Non è stato facile per i ragazzi giustificare il fatto che il 21 si ottiene solo una volta, in corrispondenza della pagina 399. Giustamente, nessun gruppo si è preso la briga di sommare le cifre di ciascuno dei 400 numeri di pagina del libro, come invece alcuni avevano fatto con il libro di 137 pagine; quindi i ragazzi avevano a disposizione solo argomenti astratti, sicuramente più difficili da utilizzare correttamente.
Chi ne è venuto a capo ha osservato che, nella somma 3+9+9 che porta al numero 21, due degli addendi sono dei 9 (e quindi il massimo possibile per una cifra) e il primo è un 3 (che è “quasi” massimo, con le pagine che abbiamo a disposizione, con la sola eccezione della pagina 400).
Alcuni gruppi poi si sono resi conto che, per dire che Marta e Luisa hanno probabilità diverse di essere estratte, bastava mostrare che il numero 6 può essere ottenuto in più di un modo; altri gruppi hanno invece cercato di elencare tutte la pagine con somma 6, facendo del lavoro in più, non necessario per fornire una risposta al problema ma utilissimo per aprire la strada verso la quantificazione della probabilità.
Un problema difficile
Questo problema, a una prima lettura, può sembrare facile: due delle tre domande infatti sono poste in modo da dire già agli alunni come stanno le cose e da chiedere loro “solo” di argomentare al riguardo.
Alcuni alunni sono talmente poco abituati a domande di questo tipo, da dare per scontato che la richiesta “Come fareste a convincere il professore di lettere del fatto che, se continua a usare questo libro, c’è per forza qualcuno che risulta sempre escluso?” sia equivalente a questa: “Se il professore di lettere continua a usare questo libro, c’è per forza qualcuno che risulta escluso?” E la cosa ancor più notevole è che alcuni gruppi di bambini hanno risposto: “No, perché il libro si può aprire su una pagina qualsiasi!”
Argomentare non è facile e, come spesso accade quando ci vengono chieste cose a cui non sappiamo dare una risposta immediata, gli alunni evitano la difficoltà rispondendo a una domanda diversa da quella che è stata posta loro, oppure anche dando una risposta che in realtà non fa che ripetere la domanda in altra forma. Compito dell’insegnante sarà, in situazioni come questa, non certo ridicolizzare gli alunni perché non hanno capito, o hanno addirittura frainteso, bensì accompagnarli in una lettura più puntuale, incoraggiarli a riflettere sulla situazione e, se ancora qualcuno non si persuade, lasciare che siano i compagni a trovare le parole, gli esempi, i calcoli giusti per convincerli, così come il testo richiede di fare con il professore di lettere.
Se argomentare non è facile, però, si impara; e un esercizio costante, come quello provocato da un insegnante che per tre anni ti chiede “Perché?” ogni volta che è possibile, può avere i suoi effetti!
Sperimentazione e possibili scenari
Il problema Oggi tocca a… è stato sperimentato in alcune classi prime (della scuola secondaria di primo grado) dai docenti iscritti al corso MathUp Problemi di Matematica. Un gioco da ragazzi, nell’anno scolastico 2022 / 2023.
Oggi tocca a… può essere utilizzato per introdurre i primissimi elementi di probabilità anche nella scuola primaria, eventualmente adattando la contestualizzazione: invece del professore di lettere si può parlare del maestro di italiano, per esempio, così come si può cambiare l’elenco degli incarichi da affidare agli alunni estratti.
Problema tratto da…
Un problema simile a questo è stato presentato da Anna Asti in uno dei Venerdì di MathUp, una serie di webinar rivolti ad insegnanti della scuola del primo ciclo, tenuti da mateinitaly nell’anno scolastico 2020 / 2021, che è stato poi ripreso nell’articolo Quantificare l’incertezza pubblicato sul numero 7 della rivista Focus Scuola (luglio 2021).
Un altro problema analogo viene affrontato sul canale YouTube MATH-Segnale di Riccardo Moschetti e Davide Calza, nel video Oggi interroghiamo:
Il problema Oggi tocca a… è riportato e commentato anche in Matematica dell’Incertezza – Secondaria di I Grado, di Giusy Sessa e Vera Longhi, di prossima pubblicazione nella collana “I Quaderni di MathUp“.
Problemi collegati…
Su questo sito sono già pubblicati o sono in via di pubblicazione diversi problemi utili per una introduzione alla probabilità nella scuola del primo ciclo:
- Oggi tocca a…, descritto in questo articolo;
- Dadi e pedine;
- Nove o dieci?, di prossima pubblicazione su Problemi per matematici in erba;
- Un gioco con i dadi;
- Pari e dispari, di prossima pubblicazione su Problemi per matematici in erba;
- Le due automobili;
- I due innamorati;
- Almeno una testa!
[1] Ministero dell’Istruzione e del Merito, Indicazioni Nazionali per il curricolo – Scuola dell’infanzia e Scuole del Primo ciclo di istruzione, 7 luglio 2025