Avete a disposizione dei blocchetti o dei mattoncini tutti uguali tra loro, come quelli con cui avete probabilmente giocato da piccoli, provando diversi tipi di costruzioni. Qui ci occuperemo di torri di varie altezze, cioè costruzioni ottenute piazzando un po’ di cubetti uno sopra l’altro.
- Costruite due torri, una alta 9 blocchetti e l’altra alta 5.
Ora potete soltanto spostare i blocchetti da una torre all’altra, senza usare blocchetti in più o in meno: riuscite a fare in modo che le due torri abbiano la stessa altezza?
Se ci siete riusciti, descrivete come avete fatto e da quanti blocchetti è formata alla fine ogni torre.
Se non ci siete riusciti, spiegate che cosa ve lo ha impedito. - Costruite (o immaginate di costruire) cinque torri, una di 4, una di 5, una di 8, una di 12 e una di 16 blocchetti.
Come prima, potete soltanto spostare i blocchetti da una torre all’altra, senza usare blocchetti in più o in meno: riuscite a fare in modo che le cinque torri abbiano la stessa altezza?
Se non ci siete riusciti, spiegate che cosa ve lo ha impedito.
Se ci siete riusciti, descrivete come avete fatto e da quanti blocchetti è formata alla fine ogni torre. In particolare, spiegateci se avete usato lo stesso metodo descritto nella risposta alla domanda A. - Calcolate ora l’altezza media delle cinque torri della domanda B.
Se non sapete come si fa o non ve lo ricordate, ve lo diciamo noi: l’altezza media delle cinque torri si calcola sommando i valori delle cinque altezze e poi dividendo il risultato per cinque (se aveste un numero qualsiasi n di torri, dovreste sommare i valori delle n altezze e dividere il risultato per n).
Vi aspettavate il risultato che avete trovato? Perché? - Con gli stessi blocchetti che avevate a disposizione per le domande B e C (non uno di più e non uno di meno), costruite sei torri anziché cinque.
Quale è l’altezza media di queste sei torri?
Riuscite in questo caso a costruire sei torri della stessa altezza?
Se ci siete riusciti, descrivete come avete fatto e da quanti blocchetti è formata alla fine ogni torre.
Se non ci siete riusciti, spiegate che cosa ve lo ha impedito. - Ora costruite cinque torri: due di 4, una di 5 e due di 7 blocchetti. Il vostro insegnante vi dice di aver costruito e nascosto una sesta torre: non vi svela di quanti blocchetti è composta, ma vi dice solo che, se si usassero i blocchetti delle vostre cinque torri e quelli della sua per costruire sei torri di uguale altezza, queste sarebbero composte da 7 blocchetti ciascuna.
Potete scoprire da quanti blocchetti è composta la torre nascosta dal vostro insegnante?
Se sì, diteci da quanti blocchetti è composta e come avete fatto a scoprirlo. - Usando lo stesso numero di blocchetti usati nella domanda E per costruire le prime cinque torri, un vostro compagno ne costruisce altre cinque, senza dirvi l’altezza di ciascuna. Come prima, successivamente l’insegnante costruisce una sesta torre in modo che l’altezza media delle sei torri sia di 7 blocchetti.
Potete scoprire da quanti blocchetti è composta la sesta torre anche se non sapete da quanti blocchetti è composta ciascuna delle prime cinque torri?
Se sì, diteci da quanti blocchetti è composta la sesta torre e che ragionamento avete fatto per scoprirlo. - E ora una serie di domande che potrebbero sembrare molto più difficili, unicamente perché hanno a che vedere con numeri più grandi. Vi consigliamo di rispondere senza costruire le torri, ma soltanto immaginandole: anche se aveste abbastanza blocchetti, con questi numeri è facilissimo perdere il conto o… far cadere le torri!
Avete quattro torri rispettivamente da 25, 37, 58 e 64 blocchetti, e volete costruire una quinta torre.
Di quanti blocchetti avete bisogno se volete che l’altezza media delle 5 torri sia di 40 blocchetti?
E se volete che sia di 30 blocchetti?
E di 50?
Spiegate ogni volta il ragionamento che fate per rispondere.
ATTENZIONE: può essere che qualcuna di queste richieste sia impossibile!
Soluzione
- Togliendo 2 blocchetti dalla torre alta 9 e mettendoli sopra quelli della torre alta 5, si ottengono due torri alte uguali, formate ciascuna da 7 blocchetti.
- Spostando i blocchetti in vari modi, si possono costruire cinque torri alte tutte 9 blocchetti.
- L’altezza media delle cinque torri è di 9 blocchetti; infatti
(4+5+8+12+16) : 5 = 45 : 5 = 9. - L’altezza media di sei torri costruite con 45 blocchetti in totale è di 7,5 blocchetti.
Non si possono costruire torri con un numero non intero di blocchetti senza romperli. - Se sei torri hanno una altezza media di 7 blocchetti, il numero totale dei blocchetti utilizzati è 42, perché 6×7=42.
I blocchetti usati per costruire le prime cinque torri sono 27, perché
4+4+5+7+7 = 27.
Allora la sesta torre deve essere formata da 15 blocchetti, perché 42-27=15. - Sappiamo che i blocchetti usati per le prime 5 torri sono 27, come per la domanda precedente; e sappiamo che il numero dei blocchetti usati nelle 6 torri è 42 perché l’altezza media delle 6 torri è di 7 blocchetti. Allora, come in E, la sesta torre sarà formata da 42-27 (cioè 15) blocchetti.
- Se l’altezza media delle 5 torri è di 40 blocchetti, la quinta torre deve essere fatta da 16 blocchetti, perché
5×40 – (25+37+58+64)= 200 – 184 = 16.
L’altezza media delle 5 torri non può essere di 30 blocchetti, perché se così fosse i blocchetti in tutto dovrebbero essere 150 (perché 5×30=150), mentre già solo le prime quattro torri sono fatte con 184 blocchetti (perché 25+37+58+64 = 184).
Se l’altezza media delle 5 torri è di 50 blocchetti, la quinta torre deve essere fatta da 66 blocchetti, perché
5×50 – (25+37+58+64) = 250 – 184 = 66.
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Un problema significativo
Questo problema si è rivelato molto utile per aiutare bambini e ragazzi a cogliere il significato della media aritmetica, al di là della “formula” che possono già avere o non avere incontrato e che si usa abitualmente per calcolarla.
La valenza didattica di questo problema dipende, oltre che dalle richieste in sé (sulle quali rifletteremo nei paragrafi seguenti), anche da due scelte che potremmo definire “metodologiche”: quella di consentire (o forse addirittura favorire) la manipolazione di oggetti concreti e quella di costringere gli alunni a descrivere le proprie azioni e spiegare i propri ragionamenti. Questi processi possono costituire per i ragazzi una tappa preziosa nella costruzione del concetto astratto, permettendo loro, anche nel momento in cui si staccheranno dall’esempio concreto, di mantenere saldo il significato di quello che stanno facendo e quindi di avviarsi all’argomentazione in una maniera sempre più consapevole.
Manipolare, immaginare e pensare
Il testo del problema dichiara che si hanno a disposizione dei blocchetti di costruzioni, tutti uguali tra loro: in molte delle classi che hanno sperimentato questo problema, gli alunni hanno davvero potuto manipolare dei mattoncini, dei cubetti o altri oggetti più o meno uguali tra loro, che si potessero impilare o quantomeno mettere in fila.
Partire dalle mani (che smontano le torri, spostano mattoncini, tolgono di qua e aggiungono di là) è un buon modo per far sì che il concetto astratto di media si leghi all’idea di distribuire equamente un dato totale tra un certo numero di elementi; in altre parole è un buon modo per far sì che gli alunni capiscano che la media aritmetica è il valore che può essere sostituito a ciascuno dei dati osservati senza farne variare la somma.
Se l’insegnante o la scuola non hanno mattoncini, cubetti, né altro materiale che possa essere impilato, poco male: gli alunni possono sempre immaginare di avere tra le mani dei blocchetti da costruzioni, o disegnarli in modo stilizzato.
Del resto, lo scopo di questo problema (e delle attività di laboratorio in generale) è quello di aiutare gli alunni a costruire un concetto astratto, partendo sì da qualcosa di concreto, ma staccandosene man mano che si procede con la comprensione e la conoscenza. In particolare, ad esempio, le richieste della domanda G (che sono del tutto simili a quelle della domanda F, ma con numeri decisamente più grandi) sono pensate proprio per costringere i ragazzi a rendersi indipendenti dai mattoncini (o perché non ce ne sono così tanti a disposizione per tutti i gruppi, o perché è difficile che torri così alte stiano in equilibrio!).
Descrivere e spiegare
Quanto visto qui sopra per Giochiamo con le torri vale anche in generale, come approfondiamo nella pagina Problemi e laboratorio di questo sito: affrontare un problema manipolando o costruendo degli oggetti concreti non serve (solo) a rendere l’attività più coinvolgente o divertente, ma anche (e soprattutto) a dare la possibilità alle mani degli alunni di leggere (nel senso etimologico di raccogliere) informazioni che, in particolare per degli studenti più giovani, sarebbe difficile vedere fin da subito con “gli occhi della mente”.
Se è vero che le mani aiutano, però, non bastano. Il passaggio all’astratto è necessario se vogliamo davvero fare matematica e non semplicemente trovare, più o meno casualmente, la risposta a una domanda, senza che questa risposta ci aiuti a rispondere a (o a porci) altre domande. E questo passaggio dal concreto all’astratto non avviene in modo automatico.
Un modo per aiutare bambini e ragazzi ad astrarre, ovvero a creare nella loro mente una serie di pensieri che corrispondano a dei concetti in relazione tra loro e con gli oggetti che hanno manipolato, è costringerli a raccontare quanto hanno fatto, a spiegare perché certe cose hanno funzionato e altre no, a riconoscere che certe azioni si possono compiere in alcuni casi e in altri no, a descrivere questi casi e a trovare un modo per riconoscerli a priori.
Se i bambini o i ragazzi rispondono a queste richieste di spiegazioni “soltanto” descrivendo quello che hanno fatto e che magari è stata una ricerca della soluzione per tentativi ed errori, va benissimo! Non avrebbe senso pretendere che giustifichino le proprie azioni in termini di media aritmetica o di proprietà dei numeri naturali, interi e razionali, se questi sono i concetti astratti che stanno formando attraverso questa attività! Trovare le parole giuste per raccontare i propri tentativi (anche quelli non riusciti e anche quelli che si sono poi riconosciuti come errori) è una maniera efficace per scoprire (dentro quei tentativi e quegli errori) un metodo, che ci porta poi alla conquista del concetto astratto sottostante.
Qualche volta, e quando succede è bene sottolinearlo e valorizzarlo, sono gli alunni stessi ad accorgersi di aver costruito un ponte tra le mani e il pensiero, come nel caso di un gruppo di ragazzini che – nel rispondere alla domanda C – hanno scritto:
Il calcolo matematico rispecchia i passaggi pratici che abbiamo fatto per portare le torri alla stessa altezza.
Un percorso a ritroso
All’interno di questo problema possiamo trovare due percorsi, per così dire, a ritroso.
Da un lato c’è la questione posta nella domanda C, che fa “tornare indietro” gli alunni a rivedere quanto hanno fatto e a come hanno risposto alla domanda B. Questo ripensare alle risposte già date alla luce di nuove riflessioni fatte a seguito di altre domande consente agli alunni, in questo caso, di associare (forse per la prima volta) l’azione di pareggiare dei dati, in modo che diventino tutti uguali mantenendo costante la loro somma, all’individuazione della loro media aritmetica.
D’altro lato ci sono le domande E, F e G che pongono una questione “inversa” rispetto a quella posta dagli esercizi cui gli alunni potrebbero essere già abituati, perché chiedono non tanto di calcolare la media di un insieme di dati, quanto di trovare uno dei valori la cui media è nota, a partire dal fatto che si conoscono gli altri valori o la loro somma.
Alcune ulteriori riflessioni a questo proposito si possono trovare nel paragrafo Un percorso a ritroso dell’articolo dedicato al problema Quanti alunni per classe?
Strategie risolutive diverse
Già per rispondere alla prima domanda, abbiamo visto gruppi diversi seguire strategie diverse. Alcuni gruppi iniziano ad accorciare la torre più alta, un mattoncino alla volta, innalzando di pari passo quella più bassa, fino a che le due torri sono alte uguali. Altri gruppi calcolano la differenza di altezza delle due torri (9-5=4) e dividono a metà questa differenza, per sapere subito quanti mattoncini togliere dalla più alta per metterli sulla più bassa. Altri gruppi ancora creano un’unica torre da 9+5=14 mattoncini e poi la dividono in due torri uguali, alte quindi 7 mattoncini ciascuna.
Anche per rispondere alle domande successive gli alunni applicano strategie diverse: c’è chi, per costruire torri alte uguali, mette insieme i mattoncini di tutte le torri e poi li divide in parti uguali; c’è chi distribuisce i mattoni delle torri più alte su quelle più basse; c’è chi divide in parti il più possibile uguali ciascuna torre, e mette insieme le parti delle varie torri finché riesce a costruirne di uguali…
Valorizzare tutte le strategie utilizzate dagli alunni è il modo migliore per far loro cogliere il significato della media aritmetica che, incontrandone solo la formula, potrebbe rimanere nascosto.
Un problema difficile
Il testo del problema Giochiamo con le torri è sicuramente molto lungo e richiede, da parte dei lettori, molta pazienza, nonostante sia suddiviso in tante domande separate e nonostante siano state modificate alcune espressioni presenti inizialmente, che si erano rivelate di difficile comprensione per molti degli alunni che per primi hanno sperimentato il problema.
Consigliamo di non assegnare l’intera sequela di domande a tutti i ragazzi fin dall’inizio, perché qualcuno potrebbe scoraggiarsi a causa della lunghezza del testo e dalla prospettiva di essere costretto a lavorare per un tempo lunghissimo!
Le domande F e G, del resto, non sono tanto diverse dalla domanda E: possono quindi essere assegnate solo ai gruppi più veloci, in modo che abbiano qualcosa di sensato da fare intanto che anche gli altri gruppi rispondono alle domande fino alla E.
L’incipit della sezione G è uno dei particolari che abbiamo cambiato rispetto alla prima versione del testo di questo problema. Inizialmente avevamo scritto che i ragazzi si sarebbero trovati di fronte a “una serie di domande molto più difficili, con numeri molto più grandi”, nella speranza che si sentissero sfidati e quindi stimolati. Così in effetti è stato nella maggioranza delle classi; alcuni alunni però, viceversa, hanno deciso di non provare nemmeno a rispondere, tanto si erano spaventati e demoralizzati.
Del resto, concettualmente, le domande di questa sezione non sono affatto più difficili rispetto alle domande E e F: solo che in questo caso, con i numeri così alti, è probabile che i ragazzi non possano costruire le torri e debbano per forza compiere il passo verso l’astrazione e rispondere a seguito di un calcolo, più che di una manipolazione.
È indubbio che ci sia una difficoltà nel passare dal concreto all’astratto, ma – una volta che questo passaggio è stato compiuto – anche i ragazzi riconoscono che fare i conti con numeri, per quanto grandi, è più semplice che stare a costruire e decostruire torri, col rischio di perdere il conto dei mattoncini o di far cadere tutto e dover ricominciare da capo.
Potrebbe essere utile discutere con i ragazzi sulle difficoltà incontrate (e su quelle invece temute a priori ma poi rivelatesi meno severe del previsto): è probabile che le cose non vadano allo stesso modo per tutti gli alunni e per tutte le classi, ma riflettere su queste cose farà bene a tutti!
Sperimentazione e possibili scenari
Il problema Giochiamo con le torri è stato proposto (in una forma lievemente diversa) ai corsisti e alle corsiste che hanno seguito il corso MathUp “Problemi di matematica: un gioco da ragazzi” nell’anno scolastico 2023 / 2024 (nella tappa dedicata al nucleo tematico dei Dati), perché lo sperimentassero nella classe prima della scuola secondaria di primo grado.
La struttura del problema e il fatto di non dare per scontato che gli alunni sappiano già come calcolare la media lo rende adatto anche alle ultime classi della scuola primaria.
Materiale necessario
È utile (ma non indispensabile) che i ragazzi abbiano davvero a disposizione dei mattoncini da costruzioni o altro materiale (anche di recupero) con cui costruire le torri. Se non ce ne fosse l’opportunità, potranno disegnarle o anche semplicemente immaginarle, ma questo potrebbe non essere altrettanto efficace.
Per costruire le torri relative alle prime domande, bastano 45 blocchetti. Sconsigliamo di darne agli alunni molti di più, in modo tale che essi siano costretti a evitare di costruire le torri di cui si parla nell’ultima domanda. In alcuni casi, infatti, avendo a disposizione tanti mattoncini, gli alunni – invece di convogliare le proprie energie nel cercare una strategia di calcolo che generalizzasse quanto già visto per rispondere alle domande precedenti – erano concentrati solo sul contare i mattoncini e sul fare in modo che le torri non crollassero sotto il proprio stesso peso!
Problemi collegati
Un altro dei Problemi per matematici in erba incentrato sul concetto di media è Quanti alunni per classe?
La differenza più significativa fra i due problemi consiste nel fatto che Giochiamo con le torri, contrariamente all’altro, è contestualizzato in modo che sia facile avvalersi della manipolazione di oggetti concreti.
Può essere utile proporre entrambi i problemi, magari dopo un certo intervallo di tempo, in modo da verificare quanto è stabile l’efficacia del lavoro fatto.