Multipli e divisori

12 è multiplo di 6 e 20 è multiplo di 4.
Il prodotto 12·20=240 è multiplo di 8.
È sempre vero che, se a è multiplo di 6 e b è multiplo di 4, allora il prodotto a·b è multiplo di 8?
Se non è vero, date l’esempio di due numeri a e b per cui questo non succede; se è sempre vero, spiegate perché ne siete convinti.

10 è un divisore di 120 e 11 è un divisore di 121.
È sempre vero che, se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11?
Se non è vero, date l’esempio di un numero a per cui questo non succede; se è sempre vero, spiegate perché ne siete convinti.

120 è multiplo di 6 e di 4.
120 è anche multiplo del prodotto 6·4=24.
È sempre vero che, se a è un multiplo di 6 e anche di 4, allora a è multiplo di 6·4=24?
Se non è vero, date l’esempio di un numero a per cui questo non succede; se è sempre vero, spiegate perché ne siete convinti.

Soluzione

Se a è multiplo di 6 e b è multiplo di 4, allora il prodotto a·b è multiplo di 8, comunque si scelgano i due numeri interi a e b. Infatti, se a è il prodotto di 6 per un numero naturale n b è il prodotto di 4 per un numero naturale k, allora
a·b = n·k·24 = 8·(3nk)
e quindi a·b è un multiplo di 8.

Non è sempre vero che, se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11. Per esempio: se a=20, allora a+1=21 e quindi non è divisibile per 11.

Non è sempre vero che, se a è un multiplo di 6 e anche di 4, allora a è multiplo di 6·4=24. Per esempio: a=12 è multiplo sia di 6 che di 4 eppure non è multiplo di 24.

Commenti

Un problema significativo

Questo problema ruota attorno a uno dei punti chiave del curricolo di matematica nella scuola del primo ciclo: quello relativo ai multipli e ai divisori di un numero naturale. Si tratta di concetti che i bambini  incontrano già nella scuola primaria, ma che necessitano di essere ripresi più e più volte, in un percorso di formazione “a spirale”, per essere osservati da diverse angolature, verificando in diverse occasioni che siano stati interiorizzati.

Inoltre il problema Multipli e divisori intende fornire agli insegnanti uno strumento da utilizzare per avviare i ragazzi verso il processo della generalizzazione.

Metacognizione 

Le competenze matematiche che i ragazzi devono mettere in gioco per risolvere questo problema sono strettamente intrecciate alle competenze linguistiche: oltre a conoscere le proprietà di multipli e divisori, infatti, è indispensabile riflettere su come si possa verificare che un’affermazione è vera (oppure è falsa). In alcuni casi è necessario controllare che cosa succede per tutti gli elementi dell’insieme cui l’affermazione si riferisce, in altri invece basta esibire anche un solo esempio, ed è proprio attraverso un misto di competenze matematiche e linguistiche che riusciamo a capire con sicurezza quando siamo di fronte all’una o all’altra situazione!

Non solo: quando si tratta di controllare che cosa succede per tutti gli elementi dell’insieme cui l’affermazione fa riferimento, la situazione cambia radicalmente a seconda che l’insieme in questione sia finito (come l’insieme dei divisori di un certo numero fissato) o infinito (come l’insieme dei suoi multipli). Se l’insieme è finito, può bastare un elenco di casi, da verificare a uno a uno: naturalmente questa strategia sarà realistica o meno a seconda di quanto è lungo questo elenco, ma teoricamente, finché l’elenco è finito, è una strategia comunque possibile. Se però l’insieme è infinito le cose cambiano e sarà necessario un ragionamento astratto che valga in tutti i casi.

Naturalmente non si pretende che ragazzi della scuola media abbiano fin da subito le idee ben chiare sui possibili casi di fronte ai quali possiamo trovarci. Ma proprio affrontare problemi come questo aiuta a mettere le basi, a far intravedere le distinzioni di cui si parla sopra, che avranno poi tempo di sedimentare e di essere comprese a fondo.

dagli esempi alla generalizzazione

La prima affermazione contenuta nel testo del problema è sempre vera: se a è un (qualsiasi!) multiplo di 6 e b è un (qualsiasi!) multiplo di 4, allora a·b è multiplo di 8. I ragazzi lo intuiscono, in genere, a partire da alcuni esempi:

  • se a=6 e b=4, allora a·b=24=3·8;
  • se a=12 e b=4, allora a·b=48=6·8;
  • se a=18 e b=8, allora a·b=144=18·8;

A questo punto, i ragazzi potrebbero arrivare alla conclusione che l’affermazione è sempre vera, proprio perché è stata verificata con molti esempi. Risulta importante, allora, riflettere sul fatto che numerosi o numerosissimi esempi non bastano a questo scopo. Nemmeno infiniti esempi basterebbero! Per convincersene, si può confrontare l’affermazione vera che stiamo esaminando con quest’altra affermazione (che invece è falsa): “Un multiplo di 3 è anche un multiplo di 9”. Possiamo trovare multipli di 3 che sono anche multipli di 9: per esempio 3·3=9 o anche 3·12=36, oppure 3·15=45; ne troviamo addirittura infiniti, perché tutti i prodotti di 3 con un multiplo di 3 sono multipli di 9 (infatti 3·3k=9k). Però non è vero che qualunque multiplo di 3 è un multiplo di 9: per esempio 6 non lo è, e nemmeno 3, e nemmeno 21 o 24.

Stiamo attenti, però, a non “liquidare” qualsiasi lista di esempi a sostegno di una tesi, dicendo che non va bene perché sono solo esempi, che non ci forniscono una giustificazione generale. Questo è sicuramente vero (da un punto di vista formale), però c’è modo e modo di fare degli esempi, e non tutte le liste di esempi sono uguali! Mentre a volte appaiono (e probabilmente sono) assolutamente casuali, altre volte la maniera stessa in cui sono scritti, organizzati, raccontati ci può far capire che i ragazzi, anche se non hanno ancora maturità e linguaggio per scriverlo in modo adeguato, hanno intuito che quegli esempi possono essere generalizzati.

Nel nostro caso, se cominciamo a osservare che:

  • se a=6 =3·2 e b=4, allora  a·b=3·2·4=3·8=24 è multiplo di 8
  • se a=12=3·2·2 e b=4, allora  a·b=3·2·2·4=6·8=48 è multiplo di 8
  • se a=18=3·2·3 e b=8=4·2, allora  a·b=9·2·4·2=18·8=144 è multiplo di 8

abbiamo fatto soltanto degli esempi, che non sono sufficienti a giustificare l’affermazione generale. Però li abbiamo scritti in un modo che già contiene un accenno di generalizzazione, nel senso che ci fa intuire in che modo si potrebbe procedere nel caso generale.

Strategie risolutive diverse

il caso di un’affermazione vera

Ci sono diversi modi per verificare che l’affermazione “Se a è multiplo di 6 e b è multiplo di 4, allora il prodotto a·b è multiplo di 8″ è sempre vera.

Qualcuno potrebbe esprimersi dicendo che:

  • se a è un multiplo di 6, otteniamo a moltiplicando 6 per un numero naturale;
  • se b è un multiplo di 4, otteniamo b moltiplicando 4 per un numero naturale;
  • quindi, il prodotto a·b si ottiene moltiplicando 6·4=24 per un altro numero naturale; ed essendo 24 un multiplo di 8, anche il prodotto a·b è sempre un multiplo di 8.

Se i ragazzi sono abituati a utilizzare le lettere quando c’è la necessità di generalizzare, lo stesso ragionamento potrebbe essere espresso in questo modo:

  • a= n·6, con n numero naturale,
  • b=m·4 con m numero naturale,
  • quindi a·b = n·m·6·4 = n·m·24 = n·m·3·8.

Alcuni alunni potrebbero cercare di scomporre i numeri a e b in fattori primi; se non si scoraggiano di fronte al fatto di poter scomporre solo i “fattori noti” di a e di b, si accorgeranno che questo basta e che possono scrivere:

  • a= n·2·3 con n numero naturale,
  • b=m·22 con m numero naturale,
  • quindi a·b = n·m·23·3

A volte capita che qualcuno, che ha scritto la soluzione in un modo diverso da quello che è stato presentato dal primo gruppo che ha esposto le sue soluzioni, intervenga dicendo “Noi non abbiamo fatto così!” oppure “Va bene anche come abbiamo scritto noi?”. Questo momento è un’ottima occasione per riflettere sul fatto che non c’è mai una sola strada per arrivare alla soluzione di un problema, ed è importante che ciascuno persegua la propria. Ugualmente importante è sviluppare la capacità di comprendere le strategie degli altri e di capire quando si è scelta una strada diversa, ma altrettanto corretta, o quando addirittura la strada è la stessa, ma varia magari soltanto la maniera di scrivere la soluzione.

il caso di afFermazioni false

Per verificare la falsità di una frase che asserisce che una certa proprietà è vera per tutti i numeri, è sufficiente mostrare un (solo!) controesempio: può essere che questo fatto sia emerso già nel discutere la prima affermazione che il problema pone all’attenzione degli alunni; se non lo fosse, poco male: emergerà sicuramente nel discutere le altre due che sono, per l’appunto, false.

Non è sempre vero che, se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11. In genere, i ragazzi non trovano difficoltà a rendersi conto di questo fatto; citano subito numerosi controesempi, come a=20, a =30… Ma non è necessario spendersi in una sfilza di esempi: ne basta uno!

Anche la terza affermazione del problema non è sempre vera e, anche in questo caso, i ragazzi potrebbero citare una serie di esempi per dimostrarlo: 12 è multiplo di 6 e di 4 ma non è multiplo di 24, la stessa cosa vale per 36, per 60… Come nel caso precedente, basta un solo controesempio.

Un problema aperto

Il problema lascia spazio alla curiosità dei ragazzi, come abbiamo potuto constatare nelle classi in cui è stato sperimentato.

Per esempio, una volta dimostrato che non è sempre vero che, se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11, qualcuno potrebbe andare oltre e affermare di aver trovato altri numeri, oltre a 120, divisibili per 10 e il cui successivo è divisibile per 11.
I ragazzi potrebbero allora chiedersi: accordato che l’affermazione non è sempre vera, quando succede che se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11? Quanti e quali sono i casi in cui questo succede?
Questo ulteriore interesse, a capire in quali casi se un numero a è divisibile per 10, allora a+1 è divisibile per 11, si è manifestato in alcune classi nelle quali abbiamo condotto la sperimentazione. Questi ragazzi hanno potuto riflettere sul fatto che, se vogliamo solo dire che l’affermazione è falsa, è inutile che facciamo molti esempi, perché ne basta uno. Ma se vogliamo capire quando si verifica una determinata condizione e quando no, allora sono opportuni i molti esempi (ben pensati e organizzati) e poi la ricerca di una spiegazione che vada oltre gli esempi. E non dimentichiamo che i ragazzi che raccolgono le sfide, e vanno oltre la mera richiesta del problema, meritano i complimenti dei loro docenti!
Alcuni potrebbero notare che, dopo il 10, l’esempio successivo per cui l’affermazione è vera è 120=12·10 (e 121=11·11); il successivo è 230 (e 231 = 21·11); in generale, sommando a 10 in modo reiterato 110 si trovano multipli di 10 del tipo 110n+10, tali che aggiungendo 1 si ottiene 110n+11, che è multiplo di 11. Ed è quello che hanno fatto i ragazzi di una delle classi in cui il problema è stato sperimentato (vedi l’immagine riportata qui sotto).
Altri potrebbero esprimere lo stesso concetto dicendo che, perché l’affermazione in questione sia vera, occorre trovare un multiplo di 11 la cui cifra delle unità sia 1, così che il numero che lo precede sia un multiplo di 10. I multipli di 11 che finiscono con 1 si ottengono moltiplicando 11 per numeri naturali che, a loro volta, finiscono con 1. Quindi 11·1=11, 11·11=121, 11·21=231, 11·31=341 e così via. Quanti casi si possono trovare? Infiniti!

Anche nel caso della terza affermazione del problema, qualcuno potrebbe voler indagare in quali casi un multiplo di 6 e di 4 è anche un multiplo di 24, e quando no. Un multiplo di 6 e di 4 è un multiplo di 12, che è il minimo comune multiplo tra 6 e 4. Se i ragazzi sono abituati a utilizzare le lettere per generalizzare, potrebbero scrivere un multiplo di 12 come 12k, con k numero naturale. E poi dire che 12k è anche multiplo di 24 se k è pari, non lo è se k è dispari. Potrebbero esprimere lo stesso concetto dicendo che un multiplo di 12 è multiplo anche di 24 solo se contiene il 12 un numero pari di volte. Oppure dicendo che i multipli di 12, partendo dallo zero, sono “uno sì e uno no” anche multipli di 24.

Sperimentazione e possibili scenari

Multipli e divisori è stato sperimentato nell’anno scolastico 2021 / 2022 da diverse classi seconde della scuola secondaria di primo grado, nell’ambito del corso MathUp “Problemi di Matematica: un gioco da ragazzi”, come esempio di problema che richiede di applicare il processo del generalizzare.

Si è rivelato utile anche per la classe prima dello stesso segmento scolastico, in cui tipicamente si introduce il tema della divisibilità. Potrebbe essere utile anche in terza, come esempio di situazione in cui l’uso delle lettere (cui i ragazzi di terza media sono ormai avviati) agevola l’argomentare, un processo di pensiero che richiede di essere allenato a più riprese.

Problema tratto da…

Il problema è ispirato a uno dei quesiti della prova INVALSI somministrata nel 2014 agli studenti della classe terza della scuola secondaria di primo grado.


Allegati

  • Multipli e divisori • 94 kB • 44 click
    Testo del problema "Multipli e divisori" scaricabile e stampabile

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.