Poligoni regolari e frazioni

Antonio, uno studente di seconda media, qualche giorno fa non aveva molta voglia di ascoltare la lezione. Annoiato, stava fissando una pagina vuota del suo quaderno quando all’improvviso, quasi senza rendersene conto, ha esclamato: “Ma guarda! Intorno a ogni punto ci sono esattamente quattro quadrati! Quindi l’angolo del quadrato è 1/4 dell’angolo giro.

Fotografia di un quaderno a quadretti - Un problema che fa da ponte tra geometria ed algebra, unendo il mondo degli angoli e dei poligoni a quello delle frazioni.

Vuoi vedere, allora, che l’angolo del pentagono regolare è 1/5 dell’angolo giro, quello dell’esagono regolare 1/6, e così via?”

Filippo, il suo compagno di banco, non è d’accordo: “Ma no, non è possibile! Non vedi che l’angolo del pentagono regolare è più grande di quello del quadrato? E invece 1/5 è più piccolo di 1/4! E con l’esagono, poi, l’angolo diventa ancora più grande, mentre 1/6 è più piccolo di 1/4 e anche di 1/5.”

Filippo ha ragione, ma anche Antonio ha fatto un’osservazione giusta: con quattro quadrati che hanno un vertice in comune si “completa” un angolo giro, quindi l’angolo di un quadrato è esattamente 1/4 dell’angolo giro.

Conoscete altri poligoni regolari, oltre al quadrato, con cui si possa completare l’intero angolo giro intorno a un punto? Quali sono? Pensate di averli trovati tutti?

E conoscete altri poligoni regolari, oltre al quadrato, che abbiano un angolo che rappresenta una frazione dell’angolo giro del tipo 1/n (per esempio 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …)? Quali sono? Pensate di averli trovati tutti?

Soluzione

Come si vede dalle due figure qui sotto, si può riempire l’angolo giro intorno a un punto con tre esagoni regolari, o con sei triangoli equilateri.

Non ci sono altre possibilità: questi sono gli unici due poligoni regolari, oltre al quadrato, con cui si possa riempire l’angolo giro intorno a un punto senza sovrapposizioni e senza buchi.

Triangolo equilatero ed esagono regolare sono anche gli unici due poligoni regolari, oltre al quadrato, ad avere un angolo interno che sia un sottomultiplo intero dell’angolo giro.
L’angolo del triangolo equilatero è di 60°, cioè 1/6 dell’angolo giro; l’angolo dell’esagono regolare è di 120°, cioè 1/3 dell’angolo giro. Non ci sono altre possibilità.

Commenti

Un problema significativo

Questo problema si pone come ponte tra l’aritmetica e la geometria, due campi che troppo spesso si ritengono mondi differenti e distanti e tra i quali invece è facile trovare, anche a livello elementare, tante connessioni.

Le domande stimolano l’osservazione e lo studio delle figure piane (in particolare dei poligoni regolari), ma allo stesso tempo richiedono la comprensione del concetto di sottomultiplo e l’acquisizione di un po’ di dimestichezza con le frazioni.

Il ponte tra aritmetica e geometria sta nel fatto che vengono poste due domande distinte che sembrano chiedere due cose diverse (una che ha a che fare con l’aritmetica delle frazioni e l’altra che ha a che fare con la geometria), ma che in realtà si equivalgono.

Metacognizione

Questo problema offre ai docenti l’occasione di far riflettere i propri alunni sul concetto di frazione, che è una di quelle idee forti della matematica sulle quali è bene ritornare più e più volte.

Non stiamo parlando di ripassare le procedure per trovare la somma o il prodotto di due frazioni, o di ripetere quello che a proposito di frazioni sia stato già detto, quanto di vedere questo concetto in una situazione significativa (quella degli angoli) che potrebbe essere diversa da quelle già incontrate.

Questo può essere utile proprio nella direzione dell’imparare a imparare: per conoscere a fondo qualcosa, oltre che ripetere ciò che si è già imparato e allenarsi a usare quello che si sa, è bene guardare quel qualcosa da altri punti di vista, ritrovarlo in contesti diversi, riscoprirlo sotto un velo che lo faceva sembrare qualcos’altro.

Strategie risolutive diverse

Proprio perché il problema si pone come ponte tra geometria e aritmetica, può essere affrontato con un approccio più geometrico, attraverso la “manipolazione”  di poligoni regolari, oppure con un approccio più aritmetico, attraverso lo studio delle frazioni.

Se un ragazzino è dotato di un po’ di spirito di osservazione, è probabile che abbia notato, in casa o in città, delle pavimentazioni con mattonelle tutte a forma di esagoni regolari, oppure tutte a forma di triangoli equilateri, come le due in figura qui sotto.

Il fatto che si possa costruire una pavimentazione con mattonelle tutte uguali e tutte esagoni regolari garantisce che, intorno a un vertice, si possa riempire l’angolo giro usando solo esagoni regolari.
Analogamente, il fatto che si possa costruire una pavimentazione con mattonelle tutte uguali e tutte a forma di triangolo equilatero, disposte come nella figura qui sopra, garantisce che, intorno a un vertice, si possa riempire l’angolo giro usando solo triangoli equilateri.

Gli alunni possono trovare i poligoni regolari con cui si può completare l’intero angolo giro intorno a un punto anche provando ad accostare alcune tessere di cartoncino (che l’insegnante può preparare, eventualmente sfruttando i files allegati a fondo pagina) o di plastica (ad esempio le tessere di polydron [1]).

Naturalmente, è più complicato giustificare il fatto che triangoli, quadrati, esagoni sono le sole tre possibilità (e infatti non lo si chiede apertamente ai ragazzi, ma ci si limita a sollevare un dubbio…); o, in parallelo, che 1/3, 1/4 e 1/6 sono le sole frazioni dell’angolo giro che corrispondono all’angolo interno di un poligono regolare.

Volendo giustificarlo, si potrebbe partire proprio dalle frazioni e osservare che:

  • 1/2 dell’angolo giro è un angolo piatto, che non è angolo interno di alcun poligono regolare;
  • 1/3 dell’angolo giro è l’angolo interno di un esagono regolare;
  • 1/4 corrisponde al quadrato;
  • 1/5 dell’angolo giro è un angolo di 72°, che non è l’angolo interno di alcun poligono regolare;
  • 1/6 corrisponde al triangolo equilatero;
  • se poi si considera una frazione 1/n dell’angolo giro, con n>6, questa corrisponde a un angolo più piccolo di 60°, e non ci sono poligoni regolari che abbiano angoli più piccoli rispetto a quello del triangolo equilatero.

Un ragionamento equivalente, ma focalizzato sugli angoli, porterebbe a dire che l’angolo dell’esagono regolare è 1/3 dell’angolo giro e gli angoli dei poligoni regolari con un numero di lati maggiore di 6 sono più grandi di 1/3 dell’angolo giro (e più piccoli dell’angolo piatto che è 1/2 dell’angolo giro). Quindi possiamo escludere tutti i poligoni regolari con un numero di lati maggiore di 6. Sappiamo che esagono regolare, quadrato e triangolo equilatero vanno bene, quindi c’è solo da controllare il caso del pentagono regolare: ma il pentagono regolare ha un angolo di 108° (che corrisponde ai 3/10 dell’angolo giro) e quindi non va bene.

Un ragionamento alternativo (ma più astratto, quindi un po’ più delicato) potrebbe essere il seguente: se, con un certo numero (chiamiamolo k) di poligoni regolari, uguali fra loro, si riempie l’angolo giro intorno a un punto, significa che l’angolo giro si ottiene moltiplicando per k l’angolo interno del poligono.
L’angolo interno di un n-gono regolare equivale a (n-2)/2n dell’angolo giro (perché la somma degli n angoli interni di un n-gono regolare è data da n-2 angoli piatti e cioè (n-2)/2 angoli giro).
Dobbiamo quindi capire quando la frazione (n-2)/2n possa essere scritta come 1/k. Affinché esista un numero naturale k per cui (n-2)/2n = 1/k occorre che 2n sia un multiplo di n-2; e questo succede soltanto quando n=3 (e 6=2n è un multiplo di 1=n-2), oppure n=4 (e 8=2n è un multiplo di 2=n-2), oppure n=6 (e 12=2n è un multiplo di 4=n-2).

Dobbiamo quindi capire quando la frazione (n-2)/2n possa essere scritta come 1/k , cioè quando esiste un numero naturale k per cui k(n-2)=2n.
Se k(n-2)=2n allora anche kn-2k=2n, ma ciò significa che
(n-2)(k-2)=nk-2k-2n+4=2n-2n+4=4.
Quindi n-2 e k-2 sono due numeri naturali il cui prodotto è 4; vediamo allora subito che ci sono solo tre possibilità:

  • 4=1×4 e quindi n=3 e k=6; questi valori di n e di k ci permettono di ottenere la frazione (3-2)/6=1/6 e di vedere sei triangoli intorno a un punto;
  • 4=2×2 e quindi n=4 e k=4; questi valori di n e di k ci permettono di ottenere la frazione (4-2)/8=1/4 e di vedere i quattro quadrati che ha notato Antonio;
  • 4=4×1 e quindi n=6 e k=3; questi valori di n e di k ci  permettono di ottenere la frazione (6-2)/12=1/3 che corrisponde ai tre esagoni.

Un problema aperto

Può essere che, una volta trovate le tre configurazioni di poligoni regolari che completano un angolo giro intorno a un punto,  negli alunni stessi sorga la curiosità di scoprire se sia possibile chiudere un angolo giro intorno a un punto con poligoni regolari diversi tra loro, come viene esplicitamente chiesto nel problema Poligoni regolari e frazioni: un po’ più di varietà.
Questo sarebbe un nuovo ponte con l’aritmetica delle frazioni, poiché chiedersi se ci sono poligoni regolari con cui completare un angolo giro intorno a un punto equivale a chiedersi se ci sono combinazioni di frazioni del tipo (n-2)/2n la cui somma è 1.

Un’altra domanda che i ragazzi potrebbero porsi nell’affrontare questo problema (e che viene ripresa sempre in Poligoni regolari e frazioni: un po’ più di varietà) riguarda le tassellazioni del piano: con quali poligoni regolari è possibile immaginare di ricoprire tutto il piano?
Se richiediamo che i poligoni regolari siano anche tutti uguali fra loro, allora ci sono solo tre possibilità, che sono le tre emerse da questo problema (triangoli equilateri, quadrati, esagoni regolari). La situazione è più varia se ammettiamo poligoni regolari anche diversi fra loro.

Scenari possibili

Il problema è pensato per ragazzi della scuola secondaria di primo grado, ma si potrebbe facilmente adattare anche ai bambini della scuola primaria,  con i quali si potrebbe affrontare sia dal punto di vista geometrico (chiedendo quali poligoni completano l’angolo giro intorno a un punto), sia da quello aritmetico (considerando le frazioni all’angolo giro).

Materiale necessario

Non è indispensabile, ma potrebbe essere utile, mettere a disposizione dei ragazzi un po’ di poligoni regolari da accostare.

A tal fine si possono usare tessere di polydron [1] o, in alternativa, si può stampare su cartoncino un congruo numero di poligoni regolari (eventualmente sfruttando i fogli allegati a fondo pagina; oppure costruendone di analoghi con GeoGebra; oppure facendoli costruire ai ragazzi stessi).
Il docente potrà valutare anche se costruire fogli con i poligoni “tutti staccati” oppure lasciare anche (come nei fogli qui allegati) il caso di poligoni che si toccano lungo un lato (con il vantaggio di ottimizzare lo spazio, ma con l’inconveniente di richiedere maggiore attenzione per il ritaglio; e inoltre il vantaggio/svantaggio di fornire già in partenza un grosso suggerimento, o addirittura la soluzione del problema se un ragazzino vispo è in grado di leggerla dalle figure).
Anche se non è strettamente indispensabile per questo problema, in vista di una possibile utilizzazione dei poligoni regolari costruiti anche per altri problemi (e in particolare per esplorare le tassellazioni piane) suggeriamo di costruirli in modo tale che abbiano tutti il lato della stessa lunghezza.

Problemi collegati

Questo problema è collegato a Poligoni regolari e frazioni: un po’ più di varietà, al punto che potrebbero essere considerati la prima e la seconda parte di uno stesso problema.

Note

[1] Il polydron è uno strumento, come altri esistenti in commercio, che consiste di tessere poligonali di diverse forme, con la possibilità di incastrarle fra loro.

Allegati

  • Poligoni regolari • 651 kB • 74 click
    Poligoni regolari da stampare su cartoncino e ritagliare
  • Poligoni regolari e frazioni • 344 kB • 54 click
    Testo del problema "Poligoni regolari e frazioni" scaricabile e stampabile

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