Lo shampoo che utilizzate usualmente si trova in due formati e i due corrispondenti flaconi hanno proprio la stessa forma. Avete in casa tre flaconi, uno grande e due piccoli: i due piccoli sono ancora pieni, mentre quello grande è quasi vuoto, c’è proprio solo un fondo. Vorreste travasare i due piccoli in quello grande, ma vi seccherebbe scoprire a metà travaso di doverlo interrompere perché il contenuto dei due flaconi piccoli non ci sta in quello grande.
Fra l’altro, l’ultima volta che avete fatto il bagno è successo un “incidente” e dal flacone grande si è staccata l’etichetta, quindi non potete neanche controllare quanti ml di shampoo contiene. Potete solo misurare le altezze dei due flaconi e avete così verificato che il flacone piccolo è alto 18 cm e quello grande 24 cm.
Potete concludere che il contenuto dei due flaconi piccoli ci sta nel flacone grande?
Se sapete che il flacone piccolo costa 1,60 euro e quello grande 2,30 euro, quale dei due vi conviene acquistare la prossima volta che vi occorre lo shampoo?
Soluzione
Sì, il contenuto dei due flaconi piccoli si può travasare nel flacone grande.
E il formato grande è quello col prezzo più conveniente.
Commenti
Il problema ha a che fare col fatto che, in una similitudine di rapporto k, le misure lineari variano in rapporto k, (le misure di area in rapporto k2 e) le misure di volume in rapporto k3.
Questo fatto è un nodo concettuale forte, che dà molte difficoltà ai ragazzi e che peraltro è importante che acquisiscano in maniera permanente, perché è un tassello fondamentale per la comprensione di molti fenomeni. Si tratta di uno di quei punti che non si possono liquidare per averli citati una volta, ma su cui occorre tornare e ritornare a distanza di tempo, possibilmente proponendo problemi diversi, magari apparentemente slegati uno dall’altro.
In questo problema, la similitudine tra i due solidi è assicurata dal fatto che si dice che i due recipienti di shampoo hanno la stessa forma. Di primo acchito si potrebbe pensare che questa dicitura esprima qualcosa di molto più debole rispetto alla similitudine; succede infatti di parlare o di sentir parlare, per esempio, di “forma” triangolare anche se siamo ben consci che i triangoli non sono tutti simili tra loro. La parola “forma” è qui usata, invece, in un senso molto forte, che però è il senso che comunemente le si dà quando ci si chiede se due oggetti hanno o non hanno la stessa forma.
Abbiamo volutamente usato un’espressione che può risultare ambigua, proprio perché da questa ambiguità può nascere una bella discussione fra i ragazzi, che può essere loro utile per riempire di significato la parola “similitudine”: probabilmente nessuno di loro saprà dire con esattezza che cos’è la forma di un oggetto (d’altra parte, anche noi adulti saremmo in difficoltà!), ma è altrettanto probabile che riescano a mettersi d’accordo sul fatto che due oggetti hanno la stessa forma solo se uno si può ottenere dall’altro con un ingrandimento che rispetti le proporzioni, senza stiracchiamenti e deformazioni (per l’appunto!).
Una volta accertato che i flaconi di shampoo sono simili, il rapporto di similitudine si può leggere dal rapporto fra le loro altezze, che è 18/24 = 3/4. Quindi il rapporto tra i loro volumi è
(3/4)3 = 27/64 < 1/2.
Se il rapporto fra i volumi fosse esattamente uguale a 1/2, il contenuto del flacone piccolo sarebbe esattamente la metà del contenuto del flacone grande (e quindi i due flaconi piccoli si potrebbero travasare nel flacone grande riempiendolo completamente). Nel nostro caso questo rapporto è minore di 1/2, quindi possiamo travasarli e avanzerà ancora dello spazio (così non ci preoccupiamo se il flacone grande è solo “quasi vuoto”, anziché essere completamente vuoto).
Possiamo anche concludere che il formato grande è quello più conveniente: infatti contiene più del doppio del flacone piccolo, mentre il suo prezzo è minore del doppio del flacone piccolo.
Val la pena far notare ai ragazzi (meglio ancora se sono loro a sollevare il problema!) che le approssimazioni con cui stiamo ragionando sono molto grossolane (eppure sufficienti per rispondere alle domande poste dal problema). Anche per rispondere alla seconda domanda non è stato necessario andare a calcolare quanto fossero, esattamente, i 27/64 di 2,30 euro o i 64/27 di 1,60 euro: è bastato ragionare sul fatto che (27/64<1/2 e quindi) il doppio di 27/64 è minore di 1 mentre il doppio di 1,60 euro è maggiore di 2,30 euro.
Ulteriori considerazioni sul tema del rapporto tra le aree di figure simili e tra i volumi di solidi simili si possono trovare nei commenti al problema I viaggi di Gulliver.
Sperimentazione, possibili scenari e problemi collegati
Durante l’anno scolastico 2017 / 2018, questo problema è stato proposto nella sperimentazione legata al corso MathUp “Problemi e approfondimenti” per la classe terza della Scuola secondaria di primo grado, insieme al problema I viaggi di Gulliver.
I due problemi erano stati fatti seguire da alcune domande:
“Secondo voi c’è qualcosa in comune fra il problema di Gulliver e quello dello shampoo? Se pensate di sì, come lo potreste spiegare a un bambino della quinta classe della scuola primaria? Vi viene in mente qualche altro problema, magari un po’ più semplice e più adatto ai bambini di quinta, che abbia in comune con questi due lo stesso punto-chiave?”
Invece che insieme, i due problemi possono essere proposti a distanza di tempo ed eventualmente con modalità diverse. Si potrebbe, ad esempio, proporre I viaggi di Gulliver alla classe divisa in gruppi, in modalità laboratoriale; successivamente l’insegnante potrebbe tirare le fila del discorso, restituendo alla classe le buone idee emerse dai gruppi, valorizzando le domande emerse e cercando di comprendere gli errori, le buone idee che essi nascondono e le misconcezioni che essi rivelano. A distanza di tempo l’insegnante potrebbe proporre I flaconi di shampoo, innanzitutto per dare l’occasione ai ragazzi di ritornare su un tema così rilevante e, in seconda battuta, per avere un riscontro di quanto sia eventualmente rimasto alla classe in seguito al primo laboratorio. Durante la discussione finale, le domande sopra riportate potrebbero essere utili per mettere a fuoco il nodo concettuale che soggiace ad entrambi i problemi.
Problema tratto da…
I flaconi di shampoo è tra i Problemi per matematici in erba citati in Diario di bordo (Sofia Sabatti, edizioni mateinitaly, 2020), un testo nel quale alcuni dei problemi presentati in questo sito vengono contestualizzati all’interno di un anno scolastico vissuto da una classe terza della scuola secondaria di primo grado.
