Paola e Daniela sono sorelle e giocano a sfidare la sorte; per decidere chi vince, tirano un dado; se viene un numero pari, vince Paola; se viene dispari, vince Daniela.
Paola e Daniela sono d’accordo sul fatto che è una regola equa, cioè le due sorelle hanno la stessa probabilità di vincere.
Siete d’accordo anche voi? Perché?
I loro cugini Bruno e Nicola vogliono giocare allo stesso gioco, ma in casa non trovano altri dadi. Prendono allora il sacchetto con le pedine della dama, 12 bianche e 12 nere; per decidere chi vince, estraggono una pedina: se la pedina estratta è bianca, vince Bruno; se è nera, vince Nicola.
Secondo voi, anche Bruno e Nicola hanno la stessa probabilità di vincere? Perché?
Paola ha sempre delle idee un po’ bizzarre, e si è stufata del pari e dispari. A scuola ha appena studiato multipli e divisori; propone allora alla sorella questa nuova regola: “se il numero che esce tirando il dado è un divisore di 6, vinco io; se non è un divisore di 6, vinci tu”. All’inizio Daniela non protesta, immaginando che il gioco sia ancora equo, ma dopo un po’ di lanci e qualche riflessione si accorge che Paola è favorita. Perché con questa nuova regola Paola è favorita?
Anche Bruno si è accorto che questo nuovo gioco non è più equo e vorrebbe fare qualcosa di analogo nel suo gioco con Nicola; pensa di potersi avvantaggiare togliendo dal sacchetto qualche pedina nera: quante ne dovrebbe togliere per avere, contro Nicola, le stesse probabilità di vincita che ha Paola contro Daniela con la nuova regola?
Soluzione
Con le regole iniziali, Paola e Daniela hanno la stessa probabilità di vincere, così come Bruno e Nicola. Infatti:
- la probabilità che sul dado esca un numero pari, come quella che esca un numero dispari, è di 3/6, cioè 1/2;
- la probabilità di estrarre dal sacchetto una pedina bianca, come quella di estrarre una pedina nera, è di 12/24, cioè 1/2.
Con le nuove regole stabilite da Paola, il gioco non è più equo, perché sulle facce del dado ci sono quattro numeri divisori di 6 (l’1, il 2, il 3 e il 6) e solo due numeri che non sono divisori di 6 (il 4 e il 5). Quindi:
- la probabilità che sul dado esca un divisore di 6 è 4/6 cioè 2/3;
- la probabilità che sul dado esca un numero che non è un divisore di 6 è 2/6 cioè 1/3.
Per avere, contro Nicola, la stessa probabilità di vittoria che ha Paola contro Daniela con le nuove regole, Bruno deve togliere dal sacchetto 6 pedine nere.
In questo modo, le pedine in totale sono 18 (12 bianche e 6 nere) e abbiamo che:
- la probabilità di estrarre dal sacchetto una pedina bianca è 12/ 18 cioè 2/3;
- la probabilità di estrarre dal sacchetto una pedina nera, è di 6/18 cioè 1/3.
Commenti
Un problema significativo
Il problema Dadi e pedine fa riferimento al nucleo curricolare della probabilità, argomento che ha il pregio di attirare l’attenzione dei ragazzi, perché offre una chiave di interpretazione di molte esperienze quotidiane, anche legate al gioco.
Forse è proprio il fatto che sia così legato alla comune esperienza quotidiana a rendere questo tema facilmente oggetto di credenze errate e prive di fondamento. Dadi e pedine, e altri problemi collegati a questo, ci paiono significativi perché possono aiutare i ragazzi a scoprire gli eventuali preconcetti sbagliati di cui si sono convinti e a costruirsi una idea più adatta di che cosa sia la probabilità. Questi problemi permettono agli alunni di capire che è possibile fare valutazioni quantitative in situazioni di incertezza e decidere di conseguenza: anche se “non posso sapere con certezza come andrà a finire”, questo non significa che una scelta vale l’altra!
Un altro motivo per il quale questo problema è significativo riguarda l’idea di rapporto. Gli alunni toccano con mano il fatto che non basta contare i casi favorevoli al verificarsi di un evento per dare una misura della sua probabilità, ma bisogna metterli in relazione con il totale dei casi possibili. Questo avviene perché si trovano a dover confrontare la probabilità di eventi relativi a due giochi in cui il totale dei casi possibili è diverso (nel lancio di un comune dado i casi possibili sono 6, nell’estrazione di una pedina da un sacchetto che contiene tutte quelle della dama i casi possibili sono 24).
Questa situazione dà ragion d’essere alla definizione di probabilità classica, come rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento e il totale dei casi possibili, e contemporaneamente fornisce un esempio in cui l’uso del rapporto si riempie di significato, favorendo la costruzione del cosiddetto “pensiero proporzionale”.
Un problema difficile
Regole eque
In genere, anche i ragazzini meno esperti non hanno difficoltà a dire che, con le regole iniziali, Paola e Daniela hanno la stessa probabilità di vincere, così come Bruno e Nicola.
La maggior parte dei gruppi fornisce giustificazioni di questo tipo:
- Paola e Daniela hanno le stesse possibilità di vittoria (tre, perché fra i numeri da 1 a 6 ci sono tre numeri pari e tre numeri dispari);
- anche Bruno e Nicola hanno le stesse possibilità di vittoria (dodici, perché nel sacchetto ci sono dodici pedine bianche e dodici pedine nere).
Solo alcuni gruppi calcolano le probabilità di vincita di Paola, Daniela, Bruno e Nicola, probabilmente quelli che hanno già interiorizzato il concetto di probabilità come rapporto o anche solo memorizzato la formula classica per il calcolo delle probabilità: “numero dei casi favorevoli diviso numero dei casi possibili”.
Per gli alunni che si limitano a constatare che i pari sono tanti quanti i dispari e le pedine bianche tante quante le nere, nessun problema: saranno le domande successive a portarli ad affrontare la questione del rapporto.
Per quelli che invece calcolano la probabilità, il confronto tra le risposte date dai vari gruppi potrebbe un’occasione propizia per riflettere sul fatto che lo stesso rapporto si può esprimere in vari modi, tutti equivalenti: 3/6, 1/2, 12/24, 50% o 0,5 sono modi diversi di scrivere lo stesso numero.
la nuova regola di Paola e Daniela
La maggior parte dei gruppi ha risposto con una certa facilità anche alla domanda relativa alla nuova regola stabilita da Paola, che la favorisce.
L’unica difficoltà emersa da parte di alcuni alunni è legata al concetto di divisibilità, più che a quello di probabilità: alcuni ragazzini, infatti, in prima battuta escludono il numero 1 e il numero 6 dal computo dei divisori di 6.
Una volta fugato questo dubbio, è chiaro a tutti che Paola ha una maggior probabilità di vincere rispetto a Daniela: la prima ha quattro possibilità di vittoria (corrispondenti all’uscita dei numeri 1, 2, 3 e 6) e la seconda ne ha soltanto due (corrispondenti all’uscita dei numeri 4 e 5).
la nuova regola di Bruno e Nicola
Le difficoltà maggiori emergono nel tentativo di rispondere all’ultima domanda: quante pedine nere dovrebbe togliere Bruno dal sacchetto per avere contro Nicola la stessa probabilità di vittoria che ha Paola contro Daniela?
A meno che si stia proponendo Dadi e pedine come esercitazione a una classe già esperta di probabilità, questa difficoltà è prevista e, in un certo senso, sperata: potrebbe essere questo il primo momento in cui non basta contare i casi favorevoli, ma bisogna metterli in rapporto con il numero dei casi possibili (oppure bisogna mettere in rapporto i casi favorevoli a un giocatore con quelli favorevoli all’altro giocatore, come vedremo meglio in uno dei paragrafi seguenti, ma sempre di un rapporto si tratta).
Un ulteriore elemento di complessità nasce dal fatto che, mentre nel gioco di Paola e Daniela il numero di casi possibili è lo stesso quando giocano a “pari o dispari” e quando giocano a “divisori di 6 o non divisori di 6”, quando Bruno e Nicola tolgono alcune pedine nere il numero di casi possibili diminuisce.
Un problema memorabile – Un problema di matematica con effetto sorpresa
La difficoltà di cui dicevamo poco sopra fa sì che molti gruppi diano all’ultima domanda una risposta inizialmente sbagliata e poi si correggano, o perché autonomamente trovano il proprio errore, a seguito di una qualche verifica, o perché l’insegnante fa notare qualche incongruenza.
Ecco: quando accade che i ragazzi, dopo aver dato d’impulso una risposta sbagliata, si accorgono che qualcosa non torna, Dadi e pedine diventa un problema memorabile. Rendersi conto dei propri errori sorprende i ragazzi, e questo stupore potrà aiutarli in futuro a essere più accorti… anche quando leggeranno dati propinati da alcune fonti, intente proprio a giocare sui denominatori al fine di orientare (o disorientare) l’opinione pubblica! Ne abbiamo avuto più che un assaggio leggendo i dati relativi all’andamento della pandemia di Covid-19, per non parlare dell’indigestione quotidiana che ci arriva dalla pubblicità!
Strategie risolutive diverse
Nel paragrafo “Un problema difficile” abbiamo già descritto alcune delle strategie usate dagli alunni per rispondere alle prime domande.
Più varie e interessanti sono quelle emerse per affrontare l’ultima questione: quante pedine nere vanno tolte dal sacchetto affinché Bruno abbia la stessa probabilità di vittoria di Paola, con la nuova regola?
per tentativi ed errori
Vari gruppi hanno inizialmente risposto che le pedine nere da togliere sono 4 (che è una risposta sbagliata, come poi hanno avuto modo di constatare). Alcuni sono riusciti a spiegare il ragionamento fatto per ottenere questo valore; un gruppo in particolare ha scritto:
Abbiamo cercato delle frazioni che sono come 4/6 e 2/6, ma con il denominatore uguale a 24 perché le pedine totali sono 24 (nel denominatore va messo il totale). Abbiamo trovato che per le bianche 4/6 può diventare 16/24 e che per le NERE 2/6 diventa 8/24. Queste sono frazioni equivalenti.
Allora per ottenere la frazione 8/24 per le nere, abbiamo tolto 4 pedine nere dalle 12 di partenza.
Il nodo sta proprio in quel “nel denominatore va messo il totale”: se si tolgono 4 pedine nere, il totale delle pedine non è più 24, bensì diventa 20. Quindi la probabilità di estrarre una pedina bianca sarebbe 12/20 (che è diverso da 4/6) e quella di estrarre una pedina nera sarebbe 8/20 (che è diverso da 2/6). Per inciso: come qualche ragazzo ha notato, il totale rimarrebbe di 24 pedine se le 4 pedine nere che vengono tolte venissero colorate di bianco, ma la possibilità di colorare le pedine non è prevista dal testo del problema.
Gli alunni che sono partiti dall’idea di togliere quattro pedine nere e che si sono accorti dell’errore hanno poi proceduto per tentativi, provando a togliere qualche pedina in più e arrivando ben presto alla risposta corretta.
Procedere per tentativi, piuttosto che non provare nemmeno a rispondere, è sempre una buona strategia. Lo è ancora di più se, una volta arrivati a scoprire la risposta, si cerca di capire cosa ha di particolare il tentativo andato a buon fine e come andare a colpo sicuro la prossima volta che si incontra un problema simile.
pari e dispari, bianchi e neri
Alcuni gruppi hanno notato subito che, con la nuova regola, i casi favorevoli alla vincita di Paola sono il doppio di quelli favorevoli alla vincita di Daniela.
Per fare in modo che Bruno e Nicola abbiano le loro stesse probabilità di vincita, occorre che i casi favorevoli alla vincita di Bruno siano il doppio di quelli favorevoli alla vincita di Nicola, ossia che le pedine bianche siano il doppio di quelle nere. Poiché quelle bianche devono rimanere 12, allora le pedine nere devono diventare la metà di 12, cioè 6.
Probabilità uguali, frazioni equivalenti
Altri gruppi hanno fatto queste considerazioni: con la nuova regola, Paola vince in 4 casi su 6. Se le pedine bianche devono rimanere 12, Bruno vincerà in 12 casi. Quello che bisogna trovare allora è quanti devono essere i casi totali affinché la probabilità di vincita di Bruno sia uguale a quella di Paola, ossia quale frazione equivalente a 4/6 ha come numeratore 12.
Poiché 4/6=12/18, le pedine in totale devono essere 18 e in particolare saranno 12 pedine bianche e 6 pedine nere.
Un problema aperto
Il testo di questo problema non è esplicito rispetto a due questioni:
- se Paola e Daniela usano un comune dado cubico a sei facce o un dado più insolito con un numero diverso di facce;
- se a ogni turno Bruno e Nicola reimmettono le pedine nel sacchetto, oppure no.
Sono stati proprio gli alunni di alcune delle classi che hanno affrontato Dadi e pedine a farcelo notare!
In un caso, si trattava di una classe la cui insegnante portava abitualmente a scuola un dado a 30 facce; i suoi alunni si sono chiesti dapprima come sarebbe diventato il problema se Paola e Daniela avessero usato questo dado e poi se Bruno e Nicola avessero avuto un numero diverso (in particolare un numero dispari) di pedine.
Un’altra classe, in relazione all’equità del gioco tra Bruno e Nicola, ha sentito l’esigenza di chiosare la propria risposta positiva così:
sempre se a ogni turno viene reinserita la pedina precedentemente tolta!
Vale sempre la pena sottolineare queste osservazioni dei ragazzi, cogliere le domande che essi si pongono, percorrere – almeno per un tratto – le strade che essi iniziano a esplorare!
Sperimentazione e possibili scenari
Il problema Dadi e Pedine è stato sperimentato nell’anno scolastico 2021 / 2022 da alcune classi seconde della scuola secondaria di primo grado, nell’ambito del corso MathUp Problemi di Matematica: un gioco da ragazzi, come esempio di problema che richiede di applicare il processo del Contare.
Può essere tranquillamente utilizzato sia con alunni più giovani (grazie al fatto che narra di situazioni che facilmente, come gioco, i ragazzi possono aver sperimentato anche all’età della scuola primaria) sia più grandi, per verificare quanto e cosa hanno assimilato a proposito della probabilità.
Problema tratto da..…
Il problema trae spunto da un quesito della prova INVALSI somministrata ai ragazzi delle classi terze della scuola secondaria di primo grado nel 2016.
Problemi collegati
Su questo sito sono già pubblicati o sono in via di pubblicazione diversi problemi utili per una introduzione alla probabilità nella scuola del primo ciclo:
- Oggi tocca a…;
- Nove o dieci?, di prossima pubblicazione su Problemi per matematici in erba;
- Un gioco con i dadi;
- Dadi e pedine, descritto in questo articolo;
- Pari e dispari, di prossima pubblicazione su Problemi per matematici in erba;
- Le due automobili;
- I due innamorati;
- Almeno una testa!